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第六讲：函数的奇偶性 及周期性 知识点睛一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反2若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期 经典精讲例1 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)3x3x；(3)f(x)；(4)f(x)例2(1)(2012上海高考)已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.(2)(2012烟台调研)设偶函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0，则不等式0的解集为()A(2,0)(2，)B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)例3 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式. 实战演练1(2012考感统考)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A BC. D.解析：选A由题意得ffff.2(2012北京海淀区期末)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 011)_.4(2012江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_5已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围6已知函数f(x)的定义域是(
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