江苏省徐州市2019年中考数学试题研究几何图形中的动态问题练习.docx

几何图形中的动态问题1.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发，沿AED的边按照AEDA的顺序运动一周设点P从点A出发经x(x0)秒后，ABP的面积是y.(1)若AB8cm，BE6cm，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式；(2)已知点E是BC的中点，当点P在线段ED上时，yx；当点P在线段AD上时，y324x.求y关于x的函数表达式第1题图解：(1)四边形ABCD是矩形，ABE90，又AB8cm，BE6cm，AE10厘米，如解图，过点B作BHAE于点H，第1题解图SABEAEBHABBE，BHcm，又AP2x，yAPBHx(0x5)；(2) 四边形ABCD是矩形，BC90，ABDC, ADBC，E为BC中点，BEEC，ABEDCE(SAS)，AEDE，yx(P在ED上), y324x(P在AD上)，当点P运动至点D时，可联立得，解得x5，AEED2x10，AEED5cm，当点P运动一周回到点A时，y0，y324x0, 解得x8，AEDEAD16，ADBC6cm，BE3cm，在RtABE中，AB4cm，如解图，过点B作BNAE于N，则BNcm，第1题解图yx(0x2.5)，y.2. 已知：如图，菱形ABCD的边长为4 cm,P、Q分别是AB、BC两边上的动点，P、Q分别从A、B两点同时出发，均以1 cm/s的速度沿AB、BC向点B和点C匀速运动，当点P到达点B时停止运动，点Q也随之停止运动，设运动时间为t(s)，点P到AD的距离与点Q到CD的距离差的绝对值为y(cm)，且y与t的函数图象如图所示.(1)A的度数为 ，M点的坐标所表示的实际意义是 ；(2)求证：PD=QD;(3)当y=时，求t的值.第2题图（1）解：60，点P到AD的距离与点Q到CD的距离相等；【解法提示】如解图，过B作BECD于E,由题图知，运动时间t=0时，点P到AD的距离为0，点Q到CD的距离是菱形的高为，即BE=,在RtBCE中，BC=4,BE=,sinC=,A=C=60，由题图知，点M在t轴上，点M的坐标所表示的意义是点P到AD的距离与点Q到CD的距离相等；第2题解图（2）证明：如解图，连接BD,由（1）知，C=60，第2题解图在菱形ABCD中，BC=CD,BCD是等边三角形，DB=BC=AD,DBQ=A=60，由运动的过程知，BQ=AP，在BDQ和ADP中，BDQADP,PDQD;(3)解：如解图，过点P作PEAD,过点Q作QFCD,第2题解图由运动过程知，AP=BQ=t,(0t4)CQ=4-t,在RtAPE中，A=60，AP=t,PE=APsinA=t,同理：FQ=(4-t),y=t-(4-t)=|t-2|,y=,t-2，化简得2|t-2|=1,t=s或t=s.3. 如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动M，N分别是AD，CD的中点，连接MN.设点D运动的时间为t.(1)判断MN与AC的位置关系；(2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3)若DMN是等腰三角形，求t的值第3题图解：(1)MNAC.证明：在ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，MNAC；(2)如解图，分别取ABC三边中点E，F，G并连接EG，FG，第3题解图根据题意，可知线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积AC6，BC8，AE3，GC4，ACB90，SAFGEAEGC12，线段MN扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MDAD，DNDC，MNAC3.分三种情况讨论：()当MDMN3时，DMN为等腰三角形，此时ADAC6，t6.()当MDDN时，ADDC.如解图，过点D作DHAC于点H，则AHAC3，第3题解图cosA，AB10，即.tAD5.()当DNMN3时，ACDC，如解图，连接MC，则CMAD.cosA，即，AM，tAD2AM.综上所述，当t5或6或时，DMN为等腰三角形第3题解图4. 如图，在正方形ABCD中，点E，G分别是边AD，BC的中点，AFAB.(1)求证：EFAG；(2)若点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EFAG是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当SPABSOAB时，求PAB周长的最小值第4题图 (1)证明：四边形ABCD是正方形，ADABBC，EAFABG90，点E，G分别是边AD，BC的中点，AFAB，又EAFABC90，AEFBAG，AEFBAG，又BAGEAO90，AEFEAO90，EOA90，即EFAG；(2)解：EFAG仍然成立；(3)解：如解图，过点O作MNAB分别交AD、BC于点M，N，连接PA，第4题解图P是正方形ABCD内一点，当SPABSOAB，点P在线段MN上(不含端点)，作点A关于MN的对称点A，连接BA交MN于点P，此时PAPBPAPBBA最小，即PAB的周长最小正方形ABCD的边长为4，AEAD2，AFAB1，EF，OA，AMOEOA，EAOEAO，EOAOMA，OA2AMAE，AM，AA2AM，BA，故PAB周长的最小值为4.5. 如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2，点M在线段BC上，连接AM，作AMNAMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E.(1)求证：AMN是等腰三角形；(2)求BMAN的最大值；(3)当M为BC中点时，求ME的长第5题图(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，NAMAMB，又AMNAMB，AMNNAM，ANMN，即AMN是等腰三角形；(2)解：如解图，作NHAM于点H，第5题解图ANMN，NHAM，AHAM，NHAABM90，AMBNAH，NAHAMB，ANBMAHAMAM2，在RtAMB中，AM2AB2BM29BM2，BM2，9BM213，ANBM，即当BM2时，BMAN的最大值为；(3)解：M是BC中点，BMCMBC1，由(2)得，ANBMAM2，AM2321210，AN5，DN523，设DEx，则CE3x，ANBC，即，解得x，即DE，CE，ME.6. 如图，点O在线段AB上，AO2，OB1，OC为射线，且BOC60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒(1)当t秒时，则OP_，SABP_；(2)当ABP是直角三角形时，求t的值；(3)如图，当APAB时，过点A作AQBP，并使得QOPB，求证：AQBP3.第6题图 (1)解：1，；【解法提示】因为动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，故当t秒时，OP21.如解图，过点P作ABP的高h，由于BOC60，OP1，故hOPsin60，即SABPABh(OAOB)h(21).第6题解图(2)解：BAPBOP60，A不可能为直角；如解图，当B90时，第6题解图BOC60，OPB30，OP2OB2，即2t2，t1；当APB90时，如解图，作PDAB，垂足为D，则ADPPDB90.第6题解图OP2t，ODt，PDt，AD2t，BD1t，BP2BD2PD2(1t)23t2，AP2AD2PD2(2t)23t2，BP2AP2AB2，(1t)23t2(2t)23t29，即4t2t20，解得t1，t2(舍去)综上所述，当ABP是直角三角形时，t的值为1或；(3)证明：APAB，APBB.如解图，作OEAP交BP于点E，第6题解图OEBAPBB，AQBP，QABB180，又3OEB180，3QAB，又AOC2B1QOP，已知BQOP，12，QAOOEP，即AQEPEOAO，OEAP，OBEABP，OEAP1，BPEP，AQBPAQEPAOOE213.7.如图，在矩形ABCD中，AB16，BC8，在AD边上取一点E，使AE3，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD上，点M落在矩形ABCD内或其边上，连接BM.(1)当四边形EFMN是正方形时，求AF的长；(2)设BFM的面积为S，AFx.写出S与x之间的函数关系式；当S由最大值变到最小值时，求点M运动的路线长第7题图解：(1)在正方形EFMN中，FEN90，EFEN；DENAEF90，在矩形ABCD中，AD90，AEFAFE90，DENAFE，在DEN与AFE中，D=A，DEN=AFE，EN=EF，DENAFE(AAS)AFDE835，AF的长为5；(2)如解图，过点M作MHAB于点H，连接NF.第7题解图在矩形ABCD中，ABCD，DNFNFB.四边形EFMN是菱形，NEMF，NEMF，ENFMFN，DNFENFNFBMFN，即DNEMFB，在DEN与HMF中，D=MHF=90，DNE=MFB，EN=MF，DENHMF(AAS)，MHDE5，又BF16x，SBFMH(16x)5x40；当点D与N重合时，S最大(如解图)，第7题解图此时DEEF5，由勾股定理得AF4，当点M落在BC上时，S最小(如解图)，第7题解图由得MBDE5，点M到AB的距离是定值5，点M运动的路径是一条线段M1M2(如解图)，第7题解图M1M2F1B16412.点M运动的路线长为12.8.如图，在ABC中，A30，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线ACB运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动设运动时间为x(s)，APQ的面积为y(cm2)，y关于x函数图象由C1，C2两段组成，如图所示(1)求a的值；(2)求图中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时，APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时APQ的面积，求x的取值范围第8题图解：(1)如解图，过点P作PDAB于点D.第8题解图A30，PA2x，PDPAsin302xx，yAQPDaxxax2.由图象得，当x1时，y，则a12，a1；(2)如解图，当点P在BC上时，PB522x102x.第8题解图PDPBsinB(102x)sinB，yAQPDx(102x)sinB.由图象得，当x4时，y，4(108)sinB，sinB，yx(102x)x2x；(3)令x2x2x，解得x10(舍去)，x22.由图象得，当x2时，函数yx2的最大值为y222.将y2代入函数yx2x，得2x2x，解得x12，x23.由图象得，x的取值范围是2x3.9.如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，动点P、Q分别从点D、A同时出发向点C、B运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两个点都停止运动.设运动的时间为t(s).(1)当t=2时，PQ的长为；(2)在运动过程中，若BPQ为等腰三角形，求相应时刻的t值；(3)如图，连接BD，是否存在某个时刻，使得PQ垂直平分BD?若能，求t的值；若不能，说明理由.第9题图解：（1）如解图，作PHAB于H，由题意得:DP=4,AQ=2,QH=2,又PH=AD=6,由勾股定理得：PQ=PH2+QH2=2;(2)当PQ=PB时，QH=BH,2t-t=8-2t，整理得t+2t=8,解得t=;当PQ=BQ时，QH2+PH2PQ2BQ2，即（2t-t）2+62=(8-t)2,解得t=;当BP=BQ时，BH2+PH2BP2BQ2，即（8-2t）2+62=(8-t)2,方程无解；综上所述，当t=或时，BPQ为等腰三角形；（3）不存在.如解图，第9题解图假设PQ垂直平分BD,则QB=QD，PD=PB,在RtADQ中，t2+36=(8-t)2,解得：t=,在RtCPB中，（8-2t）2+36=(2t)2,解得t=,不存在某个时刻t，使得PQ垂直平分BD.10. 如图，矩形ABCD中，AB=7 cm，AD=4 cm,点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且DFa cm.点P从A点出发，沿AB边向点B以2 cm/s的速度运动.连接PE，设点P运动的时间为t s，PAE的面积为y cm2.当0t1时，PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数图象如图所示.连接PF，交CD于点H.(1)t的取值范围为 s，AE cm;(2)如图，将HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连接AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t;(3)如图，当点P出发1 s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1 cm/s的速度运动.如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连接PQ，QH.若a cm，请问PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由.第10题图解：（1）0t3.5，1；【解法提示】当P运动到点B时，t=3.5 s,t的取值范围为0t3.5；由题意知，yAPAE2tAEAEt，将（0.5，0.5）代入yAEt，得AE1.(2)若四边形PAMH为菱形，则PAHM，且PA=HM，AM=PA，HDFPAF90，HFD=PFA，PAFHDF,DF=a,AF=4+a,a=4.在RtADM中，AM=PA=2t,MDF是由HDF沿线段DF翻折而得，DMHD12PAt，AM2=DM2+AD2,即4t2=t2+42,解得t=或t=-（舍去），当a=4时，四边形PAMH为菱形，此时点P的运动时间为 s.(3) PQH等构成直角三角形，理由如下：若a=时，由题意得，AQ=1+1（t-1）=t,QD=4-t,HD=2t=,过P作PG垂直于CD,垂足为G，如解图，第10题解图则GH=2t-