杆的内力及内力.ppt

1 第五章杆的内力及内力图 第一节杆的内力分析方法第二节拉 压 杆横截面上的轴力和轴力图第三节扭转杆横截面上的扭矩和扭矩图第四节弯曲构件横截面上的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 2 第一节杆的内力分析方法 内力是由外力引起的 内力将随外力的变化而变化 当内力超过一定限度时 杆件就会发生破坏 内力 由于外力作用 构件内部相连两部分之间的相互作用力 1 截面法为了显示内力 可以假想用截面将物体截开 分成两部分 这样内力将显示出来 然后用静力平衡条件求内力的大小和方向 这种方法称为截面法 步骤 截 取 代 平 3 解 1 假想地将杆在m m处截开 3 上半部分对m m截面的作用 用内力FN代替 画受力图 4 由平衡方程确定内力 例 如图所示求横截面m m上的内力 2 取研究对象 如右图所示 4 截面法是力学中研究构件内力的一个基本方法 其求解步骤可以概括为四个字 截 取 代 平 1 截 在要求内力的截面处 假想地沿该截面将杆件截为两部分 2 取 选取其中任一部分为研究对象 抛弃另一部分 3 代 用内力代替抛弃部分对选取部分的作用 4 平 根据选取部分的平衡条件 确定该截面内力的大小和方向 5 FN 沿横截面轴线的内力分量 轴力 FSy FSz 作用线沿y轴 z轴的内力分量 剪力 Mx 矢量沿轴线的内力偶矩分量 扭矩 My Mz 矢量沿y轴 z轴的内力偶矩分量 弯矩 2 内力 6 第二节拉 压 杆横截面上的轴力和轴力图 7 符号规定 拉力为正 压力为负 轴力定义 通过横截面形心并沿杆件轴线的内力 8 试分析杆的轴力 要点 逐段分析轴力 用截面法求轴力 F1 F F2 2F 9 表示轴力沿杆轴变化情况的图线 即FN x图 称为轴力图 以横坐标x表示横截面位置 以纵坐标FN表示轴力 绘制轴力沿杆轴的变化曲线 10 例等直杆BC 横截面面积为A 材料密度为r 画杆的轴力图 求最大轴力 解 1 轴力计算 2 轴力图与最大轴力 轴力图为直线 单辉祖 工程力学 材料力学 11 第三节扭转杆横截面上的扭矩和扭矩图 12 M 单辉祖 工程力学 材料力学 13 一 外力偶矩 已知 动力装置的输出功率P kW 转速n r min 试求 传递给轴的扭力偶矩M N m 设角速度为 rad s 单辉祖 工程力学 材料力学 14 二 扭矩 扭矩定义 矢量方向垂直于横截面的内力偶矩 并用T 或M 表示 符号规定 按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示 矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正 反之为负 15 扭矩图 m 轴单位长度内的扭力偶矩 试分析轴的扭矩 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线 T x曲线 扭矩图 单辉祖 工程力学 材料力学 16 例MA 76N m MB 191N m MC 115N m 画扭矩图 解 单辉祖 工程力学 17 第四节弯曲构件横截面上的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 单辉祖 工程力学 18 一 剪力与弯矩 FS 剪力 M 弯矩 剪力 作用线沿y轴 z轴的内力分量 用Q或FS表示 弯矩 矢量沿y轴 z轴的内力偶矩分量 用M表示 单辉祖 工程力学 19 正负符号规定 使微段沿顺时针方向转动的剪力为正 使微段弯曲呈凹形的弯矩为正 使横截面顶部受压的弯矩为正 剪力与弯矩计算 求m m截面的剪力和弯矩 解 用截面法 假想地将梁切开 并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图 FS与M宜均设为正 剪力FS等于梁上所有横向外力的代数和弯矩M等于梁上所有外力对该截面形心之力矩的代数和 单辉祖 工程力学 二 剪力图与弯矩图表示FS与M沿杆轴 x轴 变化情况的图线 分别称为剪力图与弯矩图 作图示梁的剪力图和弯矩图 1 求约束反力 2 列剪力方程和弯矩方程用截面法 单辉祖 工程力学 FS M沿杆轴 x轴 变化的解析表达式 剪力方程 弯矩方程 单辉祖 工程力学 24 3 作剪力图和弯矩图 二次抛物线 直线 画剪力图 画弯矩图 例题图a所示简支梁受集中荷载F作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束力 2 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段 两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同 可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同 因此需分段列出 F AC段梁 CB段梁 F 3 作剪力图和弯矩图 如图b及图c 由图可见 在b a的情况下 AC段梁在0 x a的范围内任一横截面上的剪力值最大 集中荷载作用处 x a 横截面上的弯矩值最大 b c 4 讨论 由剪力图可见 在梁上的集中力 包括集中荷载和约束力 作用处剪力图有突变 这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度 x范围内的分布力加以简化所致 若将分布力看作在 x范围内是均匀的 图a 则剪力图在 x范围内是连续变化的斜直线 图b 从而也就可知 要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的 例题图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用 试作梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束力 2 列剪力方程和弯矩方程 此简支梁的两支座之间无集中荷载作用 故作用于AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同 从而可知两段梁的剪力方程相同 即 至于两段梁的弯矩方程则不同 AC段梁 CB段梁 3 作剪力图和弯矩图 如图可见 两支座之间所有横截面上剪力相同 均为 在b a的情况下 C截面右侧 x a 横截面上的弯矩绝对值最大 为 负值 弯矩图在集中力偶作用处有突变 也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化 刚架 具有刚结点的由直杆组成的结构 静定刚架 三 刚架内力图 静定刚架的内力图绘制方法 一般先求反力 然后求控制弯矩 用区段叠加法逐杆绘制 原则上与静定梁相同 37 1 轴力图画在刚架轴线的任意一侧 应注明正 负号 拉力为正 压力为负 2 剪力图画在刚架轴线的任意一侧 应注明正 负号 通常规定 凡是使杆件的微段有顺时针转动趋势的剪力为正 反之为负 3 弯矩图画在各杆的受拉一侧 不必注明正 负号 38 例题作图示刚架的内力图 解 对AC杆 对BC杆 39 例简支梁受力如图a所示 试写出梁的剪力方程和弯矩方程 并作剪力图和弯矩图 解 1 求支座约束力 可利用平衡方程对所求约束力进行校核 四 载荷集度与剪力和弯矩间的微分关系 2 建立剪力方程和弯矩方程 AC段 CB段 3 求控制截面内力 绘FQ M图 FQ图 AC段内剪力方程是x的一次函数 剪力图为斜直线 故求出两个端截面的剪力值即可 CB段内剪力方程为常数 求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图 M图 AC段内弯矩方程是x的二次函数 表明弯矩图为二次曲线 需求出两个端截面的弯矩 需判断顶点位置 该处弯矩取得极值 我们可以发现 对于该梁来说有 CB段内弯矩方程是x的一次函数 分别求出两个端点的弯矩 并连成直线即可 a 当梁上有向下的均布荷载时 剪力图为一条直线 其斜率为负 而且 这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中 b 从剪力图可见 随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值 故弯矩图切线的斜率也应随x的增大而由正值逐渐变为负值 且在的截面处 即弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值 c 由可知 弯矩图的曲率为负 亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时 弯矩图为下凸的二次曲线 常见荷载下FQ M图的一些特征 集中力作用处 集中力偶作用处 若某截面的剪力FQ x 0 根据 该截面的弯矩为极值 利用以上各点 除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外 还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图 而不必再建立剪力方程和弯矩方程 其步骤如下 1 求支座约束力 2 分段确定剪力图和弯矩图的形状 3 求控制截面内力 根据微分关系绘剪力图和弯矩图 4 确定 FQ max和 M max 例题一简支梁在其中间部分受集度为q 100kN m的向下的均布荷载作用 如图a所示 试利用弯矩 剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图 x 而根据可知 AC段内的剪力图应当是水平直线 该段内梁的横截面上剪力的值显然为 1 校核剪力图 解 此梁的荷载及约束力均与跨中对称 故知约束力FA FB为 该梁的AC段内无荷载 对于该梁的CD段 分布荷载的集度q为常量 且因荷载系向下而在微分关系中应为负值 即q 100kN m 根据可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线 由于C点处无