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第六章定积分及其应用 1 定积分概念 定积分定义的引入 问题1 变速直线运动的路程 2 为了计算和应用方便 规定 定积分的存在定理和定积分的性质 当f x 在 a b 上定积分存在时 称f x 在 a b 上可积 在什么条件下函数f x 在 a b 上可积呢 1 定积分与积分变量无关 3 定积分的性质 设f x 在 a b 上连续 则f x 在 a b 上可积 2 定积分的几何意义 1 定理 定积分存在定理 定积分中值定理的几何意义 在 a b 内至少有一点 使得以 a b 为底 f 为高的矩形面积 等于以 a b 为底的曲边梯形的面积 2 微积分基本公式 由定积分的定义来计算定积分的值是很困难的 是否存在更为简便的方法呢 先引入变上限函数及其求导定理 公式 称为牛顿 莱伯尼兹公式 又称为微积分基本公式 3 定积分计算法 1 定积分换元积分法 定积分换元法在作变量代换时 需同时改变相应的上 下限 但不必代回原变量 2 定积分的分部积分法 由不定积分的分部积分公式 可得 4 定积分的近似计算 如果能近似地计算出曲边梯形的面积 那么面积的近似值就可作为定积分的近似值 把曲边梯形分成若干小块 然后再用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 矩形法 梯形法 把曲边梯形分成若干小块 然后用小梯形面积来代替小曲边梯形的面积 矩形法和梯形法的基本思想都是在各小段上以直线代替曲线 为了提高精度 可用曲线来代替曲线 5 广义积分以及广义积分敛散性的判定 1 无穷区间上的广义积分 被积函数有无穷间断点的广义积分 广义积分敛散性的判定 1 无穷区间上广义积分敛散性的判别法 2 被积函数有无穷间断点的广义积分的敛散性判别法 6 定积分的元素法及其应用 在定积分存在的条件下 可将定积分简化为两个步骤 这种方法称为定积分的元素法 定积分的元素法 平面图形的面积 1 直角坐标系 2 极坐标系 如果用垂直于0 x轴的平面去截立体所得截面面积是x的连续函数s x x a b 那么该立体的体积可用元素法求得 平行截面面积为已知的立体体积 思考 该图形绕Y轴旋转的旋转体体积 平面曲线的弧长 1 直角坐标系 2 参数方程表示的曲线 3 极坐标系 例12 设有一横截面为等腰梯形的蓄水池 梯形上底为6米 下底为4米 高为2米 水池的长为8米 蓄满了水 现要把水池中全部的水抽到距水面20米高的水塔 问需要作多少功 定积分的元素法在物理学中常可用来计算变力沿直线所作的功 水压力及引力等 5 物理应用 第六章重点复习题 10 求抛物线y x2 4x 3及其在点 0 3 和点 3 0
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