内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《数学归纳法》课件.ppt

第二十四讲数学归纳法 走进高考第一关考点关 回归教材 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法 它的基本步骤是 1 验证 n 1时 命题成立 2 在假设当n k k 1 时命题成立的前提下推出n k 1时 命题成立 根据 1 2 可以断定命题对一切正整数n都成立 考点训练 1 2007 上海 15 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题总成立的是 a 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立b 若f 5 25成立 则当k 5时 均有f k k2成立c 若f 7 49成立 则当k 8时 均有f k k2成立d 若f 4 25成立 则当k 4时 均有f k k2成立 答案 d 解析 若f 3 9 只能推出 当k 3时f k k2 所以a不正确 若f 5 25 只能推出 当k 5时 f k k2 所以b不正确 若f 7 16 由题意 当k 4时 f k k2成立 故选d 2 2008 湖南模拟 数列 an 中 已知a1 1 当n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an表达式是 a 3n 2b n2c 3n 1d 4n 3 答案 b 解析 由a1 1 an an 1 2n 1 n 2 得a2 a1 2 2 1 1 3 4 a3 a2 2 3 1 4 5 9 a4 a3 2 4 1 9 7 16 an n2 3 2009 山东日照 用数学归纳法证明1 2 3 n 3 时 验证n 1时 左边应取的项是 a 1b 1 2c 1 2 3d 1 2 3 4 答案 d 答案 d 解析 需要证明的不等式就是把特征不等式中的n换上k 1 因此应选d 解读高考第二关热点关 题型一用数学归纳法证明等式 分析 本题是与正整数n有关的数学命题 直接证明有困难 故可考虑用数学归纳法 点评 在用数学归纳法证明数学命题时 应注意以下几点 数学归纳法中两个步骤缺一不可 1 是基础 2 是推理的依据 由n k推出n k 1时 必须用上假设 否则不是数学归纳法 推证n k 1时 命题成立 其目标就是命题中的n换上k 1 最后要写出结论 题型二用数学归纳法证明不等式 例2已知函数f x x sinx 数列 an 满足 0 a1 1 an 1 f an n 1 2 3 求证 0 an 1 an 1 证明 先 0 0 x 1 函数f x 在 0 1 上递增 由0 ak 1知 f 0 f ak f 1 又ak 1 f ak 0 sin0 ak 1 1 sin1 1 0 ak 1 1 n k 1时 不等式成立 又 0 an 1 an 1 an f an an an sinan an sinan 0 an 1 an 综上所述 0 an 1 an 1 点评 本题虽然与函数有关 但所证不等式与n有关 故可以用数学归纳法证明 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1也成立 主要方法有 放缩法 分析法 比较法等 题型三数学归纳法证明几何问题 例3平面上有n条直线 它们之间任何两条不平行 任何三条不共点 求证 这n条直线将平面分成部分 点评 用数学归纳法证明几何问题时 一定要清楚以n k到n k 1时 新增加的量是多少 一般地证明第二步时 常用的方法是加1法 即在原来k的基础上 再增加1个 当然也可以从k 1个中分出一个来 剩下的k个利用假设 变式3 是否存在正整数m 使得f n 2n 7 53n 9对任意自然数n都能被m整除 若存在 求出最大m的值 并证明你的结论 若不存在说明理由 笑对高考第三关技巧关 数学归纳法与归纳猜想是解决数列问题的常用方法 也是高考热点之一 其思路是 先算出一个数列的前n项 用不完全归纳法得到通项公式的猜想 再用数学归纳法给予证明 典例某数列的第一项为1 并且对所有的自然数n 2 数列的前n项积为n2 1 写出这个数列的前五项 2 写出这个数列的通项公式 并加以证明 分析 根据数列前五项写出这个数列的通项公式 要注意观察数列中各项与其序号变化的关系 归纳出构成数列的规律 同时还要特别注意第一项与其他各项的差异 必要时可分段表示 证明这个数列的通项公式可用数学归纳法 本题中要特别注意第一个步骤的处理 考向精测 2008 天津高考 在数列 an 与 bn 中 a1 1 b1 4 数列 an 的前n项和sn满足nsn 1 n 3 sn 0 2an 1为bn与bn 1的等比中项 n n 1 求a2 b2的值 2 求数列 an 与 bn 的通项公式 课时作业 二十四 数学归纳法 一 选择题 1 如果命题p n 对n k时成立 则它对n k 2也成立 且知p n 对n 2时成立 则下列结论中正确的是 a p n 对所有自然数n成立b p n 对所有正偶数n成立c p n 对所有正奇数n成立d p n 对所有大于1的自然数成立 答案 b 解析 由题设知n 2时 p n 成立 相当于k 2时 p n 成立 则n k 2也成立 故对所有正偶数p n 成立 答案 d 3 若k棱柱有f k 个对角面 则k 1棱柱的对角面的个数是 答案 b 解析 增加一条棱与前面k条棱中不相邻的两条棱作对角面 有k 2个 同时一个侧面变为了对角面 因此增加了k 1个对角面 4 下列代数式中 可能被13整除的是 a n3 5nb 34n 1 52n 1c 62n 1 1d 42n 1 3n 2 答案 d 解析 把n 1代入验证知选d a 过程全部正确b n 1验证不正确c 归纳假设不正确d 从n k到n k 1推理不正确 答案 d 解析 上述证法从n k到n k 1没有用上假设 所以不正确 二 填空题 6 设n为正奇数 求证xn yn被x y整除 当第二步假设n 2k 1命题为真时 进而需证n 答案 2k 1 解析 n为正奇数 又2k 1的后一项为2k 1 应填2k 1 7 用数学归纳法证明 2n n2 n n n 时 第一步 应验证n 答案 5 8 探索表达式a n 1 n 1 n 2 n 2 n 1且n n 的结果时 第一步 n 时 a 答案 21 9 观察下式 1 12 2 3 4 32 3 4 5 6 7 52 4 5 6 7 8 9 10 72 则得结论 答案 n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 三 解答题 10 用数学归纳法证明 12 22 32 42 2n 1 2 2n 2 n 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 左边 12 22 3 右边 1 2 1 1 3 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 k 2k 1 则当n k 1时 12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 2k 1 2 k 2k 1 2k