内蒙古呼伦贝尔市高三数学总复习《一般数列求通项》课件.ppt

第三十六讲一般数列求通项 走进高考第一关考点关 回归教材 数列的表示数列的表示方法有如下几种 列举法 图象法 通项公式法 递推公式法 在给出数列的方法中 递推关系包含两种 一种是项与项之间的关系 另一种是前n项和sn与n之间的关系 在利用递推关系求通项转化是数学中最基本 最常用的解题策略 在运用转化的方法时 一定要围绕转化目标选准转化切入点 掌握 模型分析 层次解决 等解题策略 需要说明的是并不是每个数列都有通项公式 即使有通项公式 也不一定是唯一的 已知sn求an中应注意的事项由于故已知sn求an时 注意分n 1 n 2两种情况讨论 由an sn sn 1求出an后 应检验当n 1时 是否符合 an 的表达式 若符合 an写一个 否则an写成分段函数的形式 考点训练 1 2009 浙江杭州 已知数列 an 满足a1 3 an 1 2an 1 那么数列 an 1 a 是等差数列b 是等比数列c 既是等差数列又是等比数列d 既不是等差数列又不是等比数列 解析 由an 1 2an 1得an 1 1 2 an 1 2 数列 an 1 为等比数列 答案 b 2 设an n2 10n 11 则数列 an 从首项到第几项的和最大 a 10b 11c 10或11d 12 解析 an n2 10n 11是关于n的二次函数 它是抛物线f x x2 10 x 11上的一些离散的点 从图象上可以看出前10项都是正数 第11项是0 所以前10项或前11项的和最大 答案 c 3 2009 浙江温州模拟 如果数列 an 满足 首项a1 1 那么下列说法正确的是 a 该数列的奇数项a1 a3 a5 成等比数列 偶数项a2 a4 a6 成等差数列b 该数列的奇数项a1 a3 a5 成等差数列 偶数项a2 a4 a6 成等比数列c 该数列的奇数项a1 a3 a5 分别加4后构成一个公比为2的等比数列 d 该数列的偶数项a2 a4 a6 分别加4后构成一个公比为2的等比数列 解析 由通项公式可知答案为a 答案 a 4 2009 陕西 设曲线y xn 1 n n 在点 1 1 处的切线 与x轴的交点的横坐标为xn 则x1x2x3 xn等于 答案 b 5 2009 北京 若数列 an 满足 a1 1 an 1 2an n n 则a5 前8项的和s8 解析 由题可知 an 是首项为1 且公比为2的等比数列 a5 24 16 s8 28 1 255 答案 16255 解读高考第二关热点关 题型一根据数列的前n项 写出数列的通项公式例1根据数列的前n项 写出下列数列的一个通项公式 点评 利用观察法求数列的通项公式时一定要注意观察数列中的各项有哪些变化的 哪些不变的 变化的部分与n之间的关系 题型二已知sn求an例2已知数列 an 的前n项和为sn 求满足下列条件的数列 an 的通项公式 1 sn n2 n 2 sn an 3 3 b 1 sn ban 2n b r 解 1 当n 1时 a1 s1 2当n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n又当n 1时 a1 2 1 2 an 2n 2 当n 1时 a1 a1 3 a1 6当n 2时 由sn an 3 得sn 1 an 1 3 an an an 1 an an 1 anan 1 3 数列 an 为等比数列 an 6 3n 1 3 当n 1时 b 1 a1 ba1 2 a1 2当n 2时 由 b 1 sn ban 2n得 b 1 sn 1 ban 1 2n 1 b 1 an ban ban 1 2n 1 an ban 1 2n 1当b 2时 由an 2an 1 2n 1 点评 已知sn求an常见的题型有三种 已知sn f n 这时利用 已知sn f an 已知sn f an n 2 3 种运用公式 an sn sn 1 n 2 然后利用递推关系 求an 但要注意n的取值范围 变式2 1 2009 安徽合肥 设数列 an 的前n项和为sn 若sn an 3 2 n n 则 an a 是等差数列 但不是等比数列b 是等比数列 但不是等差数列c 是等差数列 或是等比数列d 既不是等比数列 也不是等差数列 解析 sn sn 1 12an a2n 6an 9 a2n 1 6an 1 9 an an 1 an an 1 6 0 得an an 1或an an 1 6 an 是等差数列 或是等比数列 答案 c 2 已知 an 的前n项和为sn 且满足an sn sn 1 n 2 a1 求an 题型三利用递推关系求通项例3 1 已知数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 则通项an 2 在数列 an 中 a1 1 an 1 an n n 求an 点评 在递推公式中 形如an 1 an f n 的类型 求an时用累加法 迭代法 对于形如 f n 类型的题用累积或迭乘 在解题时要注意n的取值范围 变式3 已知 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 na an 1 an 0 n n 求an 例4 1 已知数列 an 中 a1 1 当n 2时 an 3an 1 2 求an 2 已知数列 an 中 a1 1 当n 2时 an 3an 1 2n 求an 3 已知 an 中 a1 1 a2 2 an 2 an 1 an 求an 点评 对于形如an 1 pan q p 1 的类型 解题时 只需等式的两边同时加上 即可凑出等比数列 对于形如an pan 1 qn p 1且p q 的类型解题时 可等式的两边同时除以qn 便可转化为形如an 1 pan q的类型 但解题时要注意数列的项的形式上的一致性 当然 对于形如an pan 1 qn的类型的题也可以利用待定系数法去求解 对于形如an 2 pan 1 qan形式的题 常利用待定系数法求解 设an 2 an 1 an 1 an 整理得an 2 an 1 an 由待定系数法可得解方程 求出 进而可化简 变式4 已知数列 an 中 a1 1 an 1 a a 0 求an 解 由an 1 a 两边取对数得lgan 1 lga 2lgan设bn lgan bn 1 2bn lgabn 1 lga 2 bn lga bn lga 是以b1 lga为首项 以2为公比的等比数列 謆1 lga1 lga lga bn lga lga 2n 1 bn lga 2n 1 1 即 lgan 2n 1 1 lga an a 2n 1 1 笑对高考第三关技巧关 数列是一种特殊的函数 数列问题中蕴含着丰富的数学思想方法 是高考考查学生综合数学素养的良好素材 多以两种基本数列为主 也可以利用递推关系求解数列的通项公式 在数列问题的求解中 往往会出现忽略公式成立的条件 对数列的奇偶性判断不清 片面理解an与sn的关系而出现的各种错误 典例已知数列 an 满足a1 1 an a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 则an 点评 已知数列的递推关系求通项时 一定要注意n的取值范围 切不可忽略了n的取值范围而导致错误 考向精测 1 在数列 an 中 a1 2 an 1 an ln 1 则an a 2 lnnb 2 n 1 lnnc 2 nlnnd 1 n lnn 答案 a 答案 b 课时作业 三十六 一般数列求通项 一 选择题 1 已知数列 an 的前4项为1 3 7 15 则an a 2n 1b 2n 1 1c 2n 1 1d 2n 1 1 解析 1 21 1 3 22 1 7 23 1 15 24 1 故an 2n 1 答案 a 2 已知数列 an 的前n项和sn满足sn n2 9n 第k项满足5 ak 8 则k a 9b 8c 7d 6 解析 sn n2 9n 当n 2时 an sn sn 1 2n 10 令5 2k 10 8得7 5 k 9 k n k 8 答案 b 3 在数列1 1 2 3 5 8 13 x 34 55 中 x应取 a 19b 20c 21d 22 解析 a1 1 a2 1 a3 a1 a2 2a4 a2 a3 3 a5 a4 a3 5 x 8 13 21 答案 c 4 数列 an 的前n项和为sn与通项an满足关系式sn nan 2n2 2n n n 则a100 a10 a 90b 180c 360d 400 解析 sn nan 2n2 2n当n 2时 sn 1 n 1 an 1 2 n 1 2 2 n 1 an nan n 1 an 1 4 n 1 n 1 an n 1 an 1 4 n 1 即 an an 1 4 a100 a10 90d 360 答案 c 5 2010 广东模拟 在数列1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 中 第25项为 a 25b 7c 6d 8 解析 由数列的特点可知 前21项有 1个1 2个2 3个3 6个6组成 故a22 7 a23 7 a24 7 a25 7 答案 b 答案 d 7 已知数列 an 满足a0 1 an a0 a1 an 1 n 1 则当n 1时 an a 2nb n n 1 c 2n 1d 2n 1 解析 由an a0 a1 an 1 当n 2时 an 1 a0 a1 an 2 an an 1 an 1即an 2an 1又当n 1时 a1 a0 1 an a1 2n 1 2n 1 答案 c 二 填空题 8 2009 江苏徐州 设正数数列 an 的前n项和为sn 且sn an 推测出an的表达式为 9 2009 福建福州 数列 an 中 an n n 则数列 an 中的项的最小值为 答案 4 10 已知函数 数列 an 满足an f n n n 且数列 an 是单调递增数列 则