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第三章习题答案1. 分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解：1）用梯形公式有：事实上，2）Simpson公式事实上，3）由Cotes公式有：事实上，2证明Simpson公式具有三次代数精度。证明：而当时左侧：右侧：左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.(1)，（3），解：（1）用复化梯形公式有：，由复化Simpson公式有：解：删去 解（3）： 由复化梯形公式有：由复化公式有：（4）解：由复化梯形公式：由复化Simpson公式：4给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误差。解： 考虑到对称性，有，于是有求积公式 由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右两端相等： 此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。5给定积分。（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过（2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？（3） 如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？ 解：(1) =,当误差时，25.6, 所以取=26。（2）6用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过。（1）；（2）；（3）;(4)解（1）： 计算可以停止。解（2）：（3）解:解（4）:7推导下列三种矩形求积公式： 证明：将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 将在处Taylor展开，得 两边在上积分，得 8如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：复化梯形公式为 若在上连续，则复化梯形公式的余项为 由于且 所以使 则(1)式成为： 又因为所以 即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。 其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。9对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：其中系数为同理求得即有：10判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解：插值型求积公式 其中 则 因此，是插值型的求积公式。因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。 对于时， 可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。11构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 ， 于是有求积公式 容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。解（2）：令原式对于准确成立，于是有 解之得 于是有求积公式 容易验证当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。解(3)：令原式对于准确成立，于是有 解得: 于是有求积公式 容易验证，当时，而 可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。12. 利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式： 解（1）：令原式对于准确成立，于是有 利用的第1式，可将第2式化为 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 由式消去得进一步整理由此解出解得：因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：解（2）：令原式对于准确成立，于是有 利用的第1式，可将第2式化为 同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得 由式消去得 进一步整理 由此解出解得：因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：13分别用三点和四点GaussChebyshev求积公式计算积分，并估计误差。解：用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：此时，由公式可得：由余项可估计误差为用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计