关于贷款的问题的模型.doc

关于贷款的问题摘要本文主要讨论了关于贷款的问题，贷款利息及每月还款额的计算。一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另外一个？我们查阅了各种相关资料，解决计算月利率应该姐什么样的数学问题，是否能够手算；并通过两个不同的具体案例，根据数学思想构建数学模型，运用了数学公式，、数学归纳等方法，对数据进行计算、分析，然后应用不同的贷款还贷方式得出相应不同的结果。最后，我们认为，如果只从还款总额来考虑，“等本、等息、等额还款”更方便百姓。关键字：贷款还贷 等比（差）级数 数学归纳法一、内容重述 现代社会人们经常需要利用贷款来进行一些经济活动，比如贷款创业，贷款买房，贷款买车等等，但是贷款利息及每月还款额等等是怎样计算的呢？如果假设采用等额还贷，已知贷款总额、月利率、总贷款时间，如何计算每月还款额？更一般地，若已知贷款总额、月利率、总贷款时间，每月还款额这四个变量中的任意三个，能否求出另外一个？比如某银行的一则低息现金贷款广告：借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 能否求出银行的贷款月利率为多少？为了求出月利率需要解什么样的数学问题，能够手算吗? 请查找相关资料，解决上述问题，并思考下面的两个具体案例，进行求解，再写成一篇规范的数学建模论文。 1. 甲从一个借贷公司贷款60000美元, 年利率为12%, 25年还清. 假设是月等额还款(即一月为一期), 问他每月要还多少美元?（大概632美元，如何计算的？） 这时有另一家借贷公司出来跟甲说：“我可以帮你提前2年还清贷款，并且每个月不需要多交还款”. 该借贷公司提出的条件是: （1）. 每半个月交一次还款，每次还款额是原来的一半(这似乎并没有增加甲的负担); （2）. 因为每半个月就要给甲开一张收据, 文书工作多了, 所以要求甲预付3个月的还款，即先付 6323 = 1896美元, (这似乎也有一定的道理).甲想了想：提前两年还清贷款就可以少还63224= 15168美元, 而先付的1896美元只是15168美元的八分之一. 于是甲认为这是一笔合算的买卖. 试问这另一家借贷公司是会赔钱还是仍然可以赚钱? 建立模型对上述问题进行说明，如果这样真的可以提前还清，那么能提前多少时间还清? 2为什么同样的借贷利率，总还款额(本息合计)会有不同呢?请仔细阅读1998年12月30日金陵晚报下面的报道: “一笔总额为 13. 5 万元的个人住房组合贷款, 在两家银行算出了两种还款结果,而差额高达万元以上, 这让首次向银行借款的江苏某进出口公司程姓夫妇伤透了脑筋. 据介绍, 小程打算贷8万元公积金贷款和5.5万元商业性贷款, 他分别前往省建行直属支行和市建行房地产信贷部咨询, 其结果是, 这 13. 5 万元贷款, 分 15 年还清, 在利率相同的情况下省建行每月要求还本付息1175. 46元（其中公积金贷款660. 88元, 商业性贷款514. 58元）, 而市建行每月要求还1116. 415元（其中公积金贷款634. 56元，商业性贷款481. 855元）. 按贷款 180 个月一算, 省建行的贷款比在市建行贷款要多10628. 1元. 但两家银行均称, 结果不一样纯属正常. 有关专家向记者解释说, 省建行虽然也是等额还款, 但实行的是先还息后还本原则, 用行话说就是按月结息, 每月还本还息不等, 但每月总额一样. 举个简单的例子, 若每月等额还款1,000元, 第一个月还本息分别为100元、900元，而第二个月还本息分别变为200元、800元, 依此类推. 而市建行实行的是较便于市民理解的等本、等息、等额还款法. 为不让市民首期还款时面对巨额利息为难, 该行取了一个利息平均值, 平摊到每个月中. 上述两种算法都是人民银行许可的. 值得一提的是, 小程夫妇的麻烦已引起了央行的重视, 为规范个人住房贷款计息办法, 央行重新明确了个人住房贷款的利息计算方法. 从1999年1月1日起, 除保留每月等额本息偿还法外, 又推出了利随本清的等本不等息递减还款法公式是：每月还款额=(贷款本金贷款期月数)(本金 已还本金累计额)月利率. 同一笔贷款按这两种方法计算还款, 偿还总金额相同.请回答下面的问题: （1）省建行的“每月等额本息偿还法（先还息后还本原则）”中的每月还款额是怎样算出来的? （2）央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额是怎样算出来的? 并用市建行的结果进行计算. （3）市建行的“等本、等息、等额还款法”是怎样得到的?（4）试分析这三种算法的不同之处及利弊.（5）根据以上的分析，写一个报告，给准备贷款的市民如何还款提供帮助。二、模型假设即符号说明1、模型的基本假设月利率一定，根据对数据的计算分析，实际反映出不同的银行还贷方式的不同。2、符号说明（见求解）三、模型的建立及求解1、解答：借款模型是按月利率的，按月计算的。符号表示为：开始的贷款金额记为A0，贷款年数记为N（个月），年利率记为R，x为每月应还款额。对模型的建立：这个月（记为第n个月）尚欠银行贷款书记为An，上个月（则就为第n-1个月）结余欠款金额为，加上利息为An-1*（1+r），减去这个月的还款x，还欠银行贷款An-1*（1+r）-x。所建立的数学模型为：这个月的欠款等于上个月的欠款加上利息减去这个月的还款额。则数学模型为：An=An-1*（1+r）-x n=0,1,2,3N(其中Ao已知，AN=0)对于此数学模型，用等比级数和求和公式计算。A1=A0*（1+r）-xA2=A1*（1+r）-x=A0*（1+r）-x*（1+r）-x=A0*(1+r)2-x*(1+r)-x=A0*(1+r)2-x*1+(1+r)A3=A2*（1+r）-x=A0*(1+r)2x*1+(1+r)*（1+r）-x=A0*(1+r)3-x*1+(1+r)+(1+r)2则很容易观察出规律，用数学归纳法证明，对于任何n都有 An=A0*(1+r)n-x*1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1成立证明：设An=A0*(1+r)n-x*1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1成立，则对于第n+1项也成立。 An+1=An*（1+r）-x=A0*(1+r)n-x*1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1*(1+r)-x=A0*(1+r)n-x*1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1+(1+r)n也成立即An=A0*(1+r)n-x*1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1成立，则令s=1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1=1-(1+r)n/1-(1+r)=(1+r)n-1/rAn=A0*(1+r)n-x*1+(1+r)+(1+r)2+(1+r)n-1=A0*(1+r)n-x*(1+r)n -1/rx*(1+r)n-1/r=A0*(1+r)n-Anx=A0*(1+r)n-An*r/(1+r)n-1由于AN=0，则x=A0*(1+r)N*r/(1+r)N-1则例如该问题借50,000元, 分36期(月) 还清, 每月还1,637元. 能否求出银行的贷款月利率为多少？为了求出月利率需要解什么样的数学问题，能够手算吗?x=A0*(1+r)N*r/(1+r)N-1 其中A0=50000 N=36 x=1637 只要求解出r即可算出月利率，但无法用手计算（1）当Ao=60000，R=12%，r=1%，N=25*12=300x=A0*(1+r)N*r/(1+r)N-1 =60000*(1+1%)300*1%/(1+1%)300-1632（2） 当Ao=60000，R=12%，r=0.5%，N=23*12*2=552x=A0*(1+r)N*r/(1+r)N-1=60000*(1+0.5%)552*0.5%/(1+0,。5%)552-1320则其一月租金大概相当于还640元，甲每月应还632，那么该借贷公司赚钱：632*25*12=189600 640*23*12=176640189600-176640=12960元则23年无法还清贷款。2、（1）由查资料所得，又由公式A0*(1+r)n-（A0+x）(1+x)n+x=0可得：公积金月利率为r1=0.006375 同理可得：商业性贷款月利率为r2=0.004725.由前面推导公式x=A0*(1+r)N*r/(1+r)N-1可得：公积金每月还款额x1=660.8商业性贷款每月还款额x2=514.58 则省建行每月还款总额x=x1+x2=1175.46（2）对于“利随本清等本不等息偿还法（也称等额本等金法）”，用xk记为第k月的还款，等本偿还的意思就是每月要还本Ao/n,而且每月都要付清利息，从而每月要还的利息是不同的，第k月的利息为Ao*1-(k-1)/n*r。因此第k月还款的模型为xk=Ao/n +Ao*1-(k-1)/n*r k=0，1，2，nxk=Ao/n+Ao*r-Ao*r*（n-1）/nxk=Ao+n*Ao*r-Ao*r*（0+1+2+n-1）/n=Ao+n*Ao*r-Ao*r/n*n*(n-1)/2=Ao+Ao*r*(n+1)/2则还款总额为k=1nxk=Ao+Ao*r*(n+1)/2，因此总利息为Ao*r*(n+1)/2，即对于商业性贷款而言其总利息为（181*55000*0.006375）/2=31731.56(元)对于公积金贷款总利息为181*80000*0.004725=34209（元）由于还款额逐月下降，减少的款额是一常数，即为xk-xk-1=Ao*r/n对于商业性贷款而言n=180，Ao=5500，r=0.006375xk-xk-1=1.75对于公积金贷款而言n=180, Ao=2.1，r=0.004725xk-xk-1=2.1Sn表示为商业性贷款总利息d1表示为逐月降低减少款额，n表示还款月数,x表示为商业性每月还款总额。Sn=31731.56 d=1.75 n=15*12=180Sn=na1+n(n1)/2*1.75 求得a1=27.54 即为第一个月的利息。以后每个月利息减去1.75每月还款总额x1=55000/180+27.54=333.10x2=55000/180+27.541.75=331.35 以此来推直到x180,同理算得公积金Sn表示为公积金贷款总利息 d2表示为逐月减少还款额，n表示为还款月数,t表示为公积金每月还款总额。Sn=34209,d=2.1,n=180,可得：由公式Sn=na2+n*(n-1)/2*d即为34209=180a2+180*170/2*2.1a2=11.55t1=80000/180+11.55=455.9944t2=80000/180+11.55-2.1=453.8944以此来推直到t180.则央行推出的“利随本清等本不等息偿还法”的每月还款额w1=x1+t1=789.0944w2=x2+t2=785.2444以此来推直到w180.3.市建行的“等本、等息、等额还款”是为了方便百姓，把2中是还款总额xk=A0+(n+1)* A0r/2,平均分摊高每个月就得到等额还款1/nxk=A0/n+(n+1) A0r/2n,也就是把利息平均分摊到每个月，再加上月均还本，约为306.56+176.29=481.85（元）。由公式A0*(1+r)n-（A0+x）(1+x)n+x=0可得r=0.006375其中r为x=A0*(1+r)N/ (1+r)N-1=514.58解得r=0.00971x=660.8所以，xk-xk-1=5500*0.006375/180110(元)四、模型的评价及总结此借款模型一生活实践为基础，运用了简单的数学方法介入了一些简单的数学思想，思路清晰