陕西西安市临潼区华清中学高一数学《导数与函数的单调性》课件.pptVIP

函数的单调性与导数 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 1 常函数 c 0 c为常数 2 幂函数 xn nxn 1 一复习回顾 1 基本初等函数的导数公式 2 导数的运算法则 1 函数的和或差的导数 u v u v 3 函数的商的导数 v 0 2 函数的积的导数 uv u v v u 函数y f x 在给定区间g上 当x1 x2 g且x1 x2时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在g上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在g上是减函数 若f x 在g上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在g上具有严格的单调性 g称为单调区间 g a b 二 复习引入 引入 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢 观察下面四组函数图像 判断导数与单调性的关系 三 新课讲解 我们已经知道 曲线y f x 的切线的斜率就是函数y f x 的导数 从函数y x2 4x 3的图像可以看到 在区间 2 内 切线的斜率为正 函数y f x 的值随着x的增大而增大 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为增函数 在区间 2 内 切线的斜率为负 函数y f x 的值随着x的增大而减小 即 0时 函数y f x 在区间 2 内为减函数 f x 0 f x 0 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 由上我们可得以下的结论 如果在某个区间内恒有 则为常数 例1 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 由2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 因此 当时 f x 是减函数 例2 讨论f x x3 6x2 9x 3的单调性 解 f x 3x2 12x 9 令3x2 12x 9 0 解得x 3或x 1 因此 当或时 f x 是增函数 令3x2 12x 9 0 解得1 x 3 因此 当时 f x 是减函数 故f x 在 1 和 3 内是增函数 在 1 3 内是减函数 而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的 一 利用导数讨论函数单调性的步骤 1 求导数 2 解不等式 0得f x 的单调递增区间 解不等式 0得f x 的单调递减区间 练习1 求函数y 2x3 3x2 12x 1的单调区间 答案 递增区间是和 递减区间是 2 1 例1 求函数f x x x的单调区间 解 四 综合应用 例1 确定下列函数的单调区间 1 f x x 2 sinx 解 1 函数的定义域是r 令 解得 令 解得 因此 f x 的递增区间是 递减区间是 解 函数的定义域是 1 2 f x x 2 ln 1 x 1 由即得x1 注意到函数的定义域是 1 故f x 的递增区间是 1 由解得 1 x 1 故f x 的递减区间是 1 1 说明 函数的单调区间必定是它的定义域的子区间 故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域 在求出使导数的值为正或负的x的范围时 要与定义域求两者的交集 例2 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求其单调区间 解 若a 0 对一切实数恒成立 此时f x 只有一个单调区间 矛盾 若a 0 此时f x 也只有一个单调区间 矛盾 若a 0 则 易知此时f x 恰有三个单调区间 故a 0 其单调区间是 单调递增区间 单调递减区间 和 五 小结 1 在利用导数讨论函数的单调区间时 首先要确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于零的点外 还要注意在定义域内的不连续点和不可导点 3 注意在某一区间内 0只是函数f x 在该区间上为增 减 函数的充分不必要条件 6 利用导数的符号来判断函数的单调区间 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用 它充分体现了数形结合的思想 5 若函数f x 在开区间 a b 上具有单调性 则当函数f x 时在闭区间 a b 上连续 那么单调区间可以扩大到闭区间 a b