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文档简介

第五节微分方程的数值解 在实用上有重大意义的许多微分方程 虽然满足解的存在唯一性定理的相关条件 但是它们的解常常不能表达成初等函数的形式 这类微分方程除了在第六章将要介绍稳定性 定性方法进行讨论之外 最常用的方法就是用数值方法求解它们了 即微分方程的数值解法 现已逐步形成一门新的 独立的研究分支了 求Cauchy问题 初值问题 的解 根据初值条件 按照一定的步长h 用某种方法 算法 计算微分方程解的近似值 这样求出的解称为数值解 第一部分欧拉方法 一 欧拉格式 规定 相邻两个节点的间距称为步长 在以后如不特别声明 步长就为定值h 讨论下列节点列上的近似解 并用的近似值代入上式的右端 记所得结果为 于是有 欧拉公式 Euler 把方程 1 离散化 其基本方法是用差商代替微商 如以点列代入方程 1 有 并用差商代替其中的导数项 即 有 例1求解以下初值问题 解 分析1 确定步长h 0 1 由欧拉格式 有 2 通过计算分析欧拉格式的精度较低 在的前提下估计的误差称为局部截断误差 1 欧拉公式 欧拉格式 2 差分方程 由 3 构成的方程称为差分方程 由此逐步求 3 局部截断误差和精度 如果一种数值方法的局部截断误差为 则称这种方法的精度为阶 二 隐式欧拉格式 一阶精度 用向后差商替代方程中的导数项 有 隐式欧拉格式 欧拉格式的精度是阶 事实上 有 三 两步欧拉格式 二阶精度 用中心差商替代方程中的导数项 有 两步欧拉格式 计算当前步的值需要用到前两步的值 因此 得名两步格式 同时 也称前两种方法为单步方法 小结 介绍了常微分方程初值问题数值求解的欧拉格式 这些格式分别具有一阶和二阶精度 注意 1 欧拉格式建立的基本思想就是用差商代替微商 向前 向后和中心差商 2 步长的选取 3 算法的收敛和稳定性分析是一个算
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