第二篇：线性代数.doc

第二编 线性代数59题与书上答案不一样，请张老师核对一、选择题1. 【答案】D【解】基本题，直接按第一行展开 . 2. 【答案】B【解】.【特别注意】有一种流行的错误说法说：行列式是一个数。这是不对的，事实上，行列式是一种对应法则，是一个函数，还可以出下面这样的题：设，证明：存在，使得.3. 【答案】C【解】的列向量组、行向量组均线性相关. 事实上，等价于说：组成的向量组一定线性相关.4. 【答案】C【解】考矩阵基本运算，5. 【答案】B【解】或.当时,显然. 6.【答案】C【解】伴随矩阵是重要考点，.7. 【答案】C【解】.8. 【答案】B【解】学会将基本公式广义化，由于，于是写出，对于本题，.9. 【答案】D【解】现在的考研中，考“大块头”的伴随矩阵是考研的趋势。此题可以根据逐一验证，也可以这样做：.10. 【答案】B【解】根据，得分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆11. 【答案】D【解】考可逆矩阵的基本运算. ，故是的逆矩阵，选(D).12. 【答案】C【解】.选(C).13. 【答案】C【解】.选(C).14. 【答案】C【解】.选(C).15. 【答案】C【解】“”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为：(1).(2)组成的每一列都是的解向量. 对于本题，.当时,1或2,则(A)和(B)都错;当时,.选(C).16. 【答案】C【解】.选(C).17. 【答案】B【解】可逆矩阵乘以任何矩阵，只要运算规则允许，则不改变的秩，于是.选(C).18. 【解】;又,则. 选(B).19. 【答案】D【解】由秩的基本不等式，,又为阶方阵.选(D).20. 【答案】C【解】初等矩阵是考研出题频率极高的考点.21. 【解】.选(C).22. 【答案】C【解】初等矩阵的考点。记住“左行右列”，细心一点，选(C).23. 【答案】C【解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 ，于是 ，即,选(C)24. 【答案】C 【解】.由,则齐次线性方程组只有零解,即的列向量全为零,故.选(C).25. 【答案】C【解】线性无关的充分必要条件是中任意一个向量均不能由其余向量线性表示. 选(C).26. 【答案】B【解】考虑线性相关定义的逆否命题. (A)、（C）存在不全为0的有等式成立,则线性相关. (B)（D）线性无关的定义判断 .选(B).27. 【答案】A【解】本题四个选项都是在说“行”，所以的行秩的行向量组的最大无关组含个行向量.选(A).28. 【答案】D【解】线性无关的通俗说法就是选项（D），这是基本概念题，送分的，选(D).29. 【答案】A【解】本题可用特值法，令,则线性无关,(B)错; 线性相关,(C)错.令,若线性相关,则能由线性表示,(D)错.选(A).30. 【答案】B【解】齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是.选(B).31. 【答案】B【解】考非齐次线性方程组解的结构. 线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故是对应齐次线性方程组的基础解系; 又,故为的一个特解;由非齐次线性方程组解的结构,知选(B).对(A):为的解.对(C):为的解,且为的解.对(D):不一定线性无关.32. 【答案】C【解】由是的三个线性无关的解，知是两个线性无关的解.非齐次线性方程组解的线性组合若系数和为1是非齐次线性方程组解，从而是的解.由非齐次线性方程组解的结构知是的通解.故应选（C）.33. 【答案】D【解】有无穷多个解有非零解. 选(D).34. 【答案】A【解】基本概念问题，验证.选(A).35. 【答案】A【解】仅有零解的列向量线性无关.选(A).36. 【答案】C【解】对(A):,又可逆，不可逆且秩是3,故,则线性相关. 同理可讨论(B),(C),(D).37. 【答案】C【解】 理由同上题，请自练，答案选(C).38. 【答案】B【解】由于（1）“初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向量组的线性相关性不变”; （2）“初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变”，于是,向量组的极大线性无关组是.选(B).39. 【答案】D【解】, 于是,故线性相关.选(D).40. 【答案】D【解】三条直线交于一点线性方程组有唯一解于是，线性相关，线性无关. 选（D）.41. 【答案】D【解】任何可逆矩阵都可以通过若干次初等行变换化为同阶单位阵，所以如果为同阶可逆矩阵,则都与同阶单位阵等价,故等价.故选(D).42. 【答案】A【解】.选(A).43. 【答案】D【解】秩=秩(),则必有非零解.选(D).44. 【答案】A【解】设.则共面, 于是两直线共面. 又满秩矩阵仍为满秩矩阵,所以不平行,即两直线不平行. 选(A).45. 【答案】C【解】有非零解.若,由得,矛盾.故选(C).46. 【答案】C【解】线性无关,于是线性无关; 又线性相关,得可由线性表示,也必可由线性表示. 选(C).47. 【答案】B【解】.选(B).48. 【答案】B【解】由题意，可由向量组线性表示，故，如果也可由线性表示，则可由向量组线性表示，矛盾，故(C),(D)错. 可由向量组线性表示, 则存在一组数,使得, 其中.若, 则可由向量组线性表示, 矛盾.可由线性表示.故(A)错. 选(B). 注意，这类问题是考研中重要的出题角度，涉及的逻辑推理性比较强，考生要高度重视.49. 【答案】D【解】与相似,存在可逆矩阵,使得,则,即与相似. 选(D). 对于(A):；对于(B):与相似,则与有相同的特征值,但特征向量不一定相同；对于(C):与不一定能够相似对角化.50. 【答案】D【解】线性无关等价. 选(D).51. 【答案】C【解】的基础解系含个解向量.可取.选(C).52. 【答案】A【解】(1),即的解是的解; (2),即的解是的解. 故，与同解. 选(A).53. 【答案】B【解】.选(B).54. 【答案】B【解】阶方阵具有个不同的特征值则与对角阵相似这是由矩阵可相似对角化的判定定理可知该命题是充分不必要条件.选(B).55. 【答案】B【解】有一特征值,则有一特征值.选(B).56. 【答案】A【解】对于实对称矩阵，相似必合同，为实对称矩阵且的特征值为. 选(A).二、填空题57.【答案】-28 【解】.58. 【答案】40【解】.59. 【答案】3【解】60. 【答案】其中，.61. 【答案】【解】62. 【答案】【解】按第1列展开,得63. 【答案】【解】.64. 【答案】【解】行列式的计算.解 ,则 .65.【答案】 【解】与59题计算方法相同.66. 【答案】【解】.67. 【答案】-3【解】或.当时;当时.68. 【答案】1【解】.69. 【解】70. 【答案】【解】.其中，.71. 【解】.72. 【解】.73. 【答案】【解】设,由,得,所以.74. 【答案】0【解】，其中75. 【解】.76. 【答案】【解】由得.其中，,其中全不为零.77. 【解】78. 【答案】2 【解】可逆,则.79. 【答案】【解】,得;又,得,则. 又.80. 【答案】【解】.81. 【答案】【解】82. 【解】83. 【答案】2【解】84. 【答案】3【解】,则.85. 【答案】【解】,则.86. 【答案】为任意常数.【解】的秩为,则线性方程组的基础解系所含解向量的个数为.由的各行元素之和均为零,知向量是线性方程组的一个非零解,故线性方程组的通解为为任意常数.87. 【答案】【解】.88. 【答案】【解】,方程组有惟一解.为方程组的解.89. 【答案】【解】,所以当时,方程组无解.90. 【答案】【解】方程有无穷多个解 ，可得，解得时线性方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩不相等，舍去.所以，91. 【答案】【解】，故.92. 【答案】.【解】有特征值，.由，可知是的一个特征值.则必有特征值.93. 【答案】【解】由已知阶矩阵的元素全为1,可知，因此有个0特征值.由特征值的性质：矩阵的n个特征值之和等于对应所有对角线上的元素之