大学毕业论文——构造法在解题中的应用【初稿】.doc

皖西学院本科毕业论文（设计）皖 西 学 院本科毕业论文（设计）论 文 题 目 构 造 法 在 解 题 中 的 应 用 姓名（学号） 彭 小 飞 (20072068) 系 别 应 用 数 学 学 院 专 业 数 学 与 应 用 数 学 导 师 姓 名 邵 毅 二一一年五月构造法在解题中的应用作 者彭小飞指导教师邵 毅摘要：构造法作为数学的一种重要的思想方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件；实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式。构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出的特点而采取相应的解决问题的办法，在数学解题尤其是高等数学解题中具有广泛的应用。本文主要基于构造法的相关理论探讨它在解决数学分析、代数、几何、三角函数等高等数学问题中的应用。关键词：数学思想方法；构造法；解题及应用.Abstract：与中文摘要对应。（五号、Times New Roman） Key words：与中文关键词对应。（五号、Times New Roman）目 录第一章 引 言4第二章 构造法概述51 欧几里德的定理52 构造法的历史52.1直觉数学阶段52.2算法数学阶段52.3现代构造数学阶段63 构造法的基本概念7第三章构造法与解题81 构造辅助元素81.1构造法在解决数学分析问题中的应用82.1构造法在解决代数问题中的应用143.1构造法在解决几何问题中的应用164.1构造法在解决三角函数问题中的应用172 构造结论202.1构造 “算法”202.2构造特例203 构造矛盾204 构造反例20第四章 构造法的优点211 还原功能212 分解功能213 简化功能214 数形转换功能21第五章 结 语22第六章 致 谢23参考文献24第一章 引 言在科学发展的历史中我们可以看到，科学的发展总是和思维的发展有着紧密的联系。它经历了一个从低级到高级，从简单到复杂，从具体到概括的发展历程。数学的发展也不例外，因此许多杰出的科学家都十分注重数学思想和方法在数学发现，数学创造中的作用。显然，数学思维的作用是多方面的，它不仅是推动数学发展的重要力量，在与我们日常学习息息相关的解题中也有巨大的作用。数学的主要思维方法是什么？这是数学家们历来关注的一个重要问题。20世纪初以来，围绕什么是数学的基础的讨论，逐步形成了三个不同的学派：逻辑派、直觉派和形式公理派。从思维方式上看数学基础问题的讨论，在逻辑主义学派看来，数学的主要思维方法是逻辑思维；在直觉主义学派看来，数学的主要是直觉（或灵感）思维；在形式主义学派看来，数学的主要思维方式是以符号为特征的纯粹性的抽象思维。到底什么是数学的主要思维方式，辩证思维在数学尤其是高等数学中占有怎样的地位，仍是一些尚待解决的问题。数学中的一些常用方法，诸如公理法、模型法、构造法、解析法、递归法、极限法、逐次逼近法、统计法、对偶法、关系映射反演法、数学归纳法、反证法等都是大家熟悉的，那么这些方法是怎样产生和发展的，其作用和特征又是如何呢？从数学发展史上看，长期以来，数学家们对自己所从事研究领域的方法是重视的，并且有许多发明和创造。对数学思想方法本身的研究有着很重要的意义：有利于培养数学能力和改革数学教育；有利于充分发挥数学的功能；有利于充分认识数学本质与全面把握数学发展规律。我们相信，数学思想方法作为一个独立的研究领域，必将不断取得新的研究成果，为数学、自然科学、教育科学与哲学的发展，做出应有的贡献。数学方法产生与数学知识，而数学知识又蕴藏着数学思想，两者相辅相成，密不可分。数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。构造法作为数学的一种重要的思想方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件。构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出的特点而采取相应的解决问题的办法，在数学解题尤其是高等数学解题中具有广泛的应用。本文主要基于构造法的相关理论探讨它在解决几何、代数、三角函数、复数等高等数学问题中的应用。第二章 构造法概述1 欧几里德的定理历史上不少著名的数学家，如欧几里德，高斯，欧拉，拉格朗日维尔斯特拉斯，康托等人，都曾经用“构造法”成功的解决过数学上的难题。天才的古希腊数学家欧几里德不仅是欧式几何学的奠基人，也算得上是数学上“构造法”的创始人。在几何原本中，欧几里德巧妙的证明了数论中后来以他的名字命名的重要定理，“素数的个数是 无穷的。”即几何原本第九篇的命题20，原文是这样叙述的：“素数的数目比任何指定的数都要多”。欧几里德首先假定只有有限个素数，把它们全部都写出来就是， ，然后他又构造出一个新的素数，从而引出矛盾。事实上，他所构造的不可能是合数，因为它不能被， ，中任何一个素数所整除，但同时它又不是原来假定的素数的全体， ，中的任何一个。这个矛盾说明只有有限个素数的假定是错误的。在此，欧几里德通过构造出新的数学对象，从而使原命题得到证明。他使用的这种重要的数学方法就是“构造法”。2 构造法的历史从数学产生的那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直觉派有关的。直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。”这就是构造主义。近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段：2.1直觉数学阶段直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”。第二个强有力的倡导者是彭加勒，他主张自然数是最基本的直观，无需再作进一步的分析就可以认为是可信的。与克隆尼克一样，他坚持所有的定义和证明都必须是构造性的。近代构造法的系统创立者是布劳威，他完整而彻底地从哲学和数学两方面贯彻和发展了“存在必须被构造”的观点。2.2算法数学阶段算法数学的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不像直觉数学那样去向传统的证明规则挑战。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”尤为引人注目。算法数学是一种把数学的一切概念都归约为一个基本概念-算法的构造性方法。它以递归函数理论为基础，因此它的概念有非常严格的定义：每个函数都用它的哥德尔数的办法来处理，每个实数是一个特定的递归函数等等。但是，这种构造法依赖于递归函数理论的术语，所以使这种算法数学外行人读起来十分困难，加之马尔科夫的后继者们似乎对于复杂理论及其在计算机科学上的应用比对于算法数学实践本身更有兴趣，使之由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。2.3现代构造数学阶段1967年，比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。比肖泊通过重建现代分析的一个重要部分，重新激发了构造法的活力。他和钦基于丹尼尔积分所创立的新的构造性的测度理论，轻易地消除了对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑，并且还证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的。虽然比肖泊的工作植根于布劳威的工作，但是他能从直觉数学的自我禁锢的概念中解脱出来，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函数-理论方法的不必要的依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号，所以为一般数学家容易看懂，重新激发了构造法的活力。“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”（波利亚语）。这说明解题过程就是不断地将未知转化为已知的过程，而构造法的实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式。实际上，构造法从数学产生之时就已经存在，在古代数学的建立与发展中起着重要的作用。以西方的几何原本和中国的九章算术为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处。我国古代数学采用构造的方法，注重问题解决的能行性，因此形成了丰富的术，这些术就是一个个构造性的机械式的计算程序，他们对推动古代数学的发展起到了重要的作用。数学家吴文俊就指出，九章算数中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就。由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响。组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域。尤其是图论，更是构造性数学发展的典型领域之一，因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络、程序的框图、公式的表达式等也都是构造性很强的问题。应用构造法获得发展的另一分支是数值分析。此外，拓扑学、维数理论等，也是构造数学大有用武之地的领域。随着人类进入计算机时代，人们开始充实重新估量构造性数学的价值，这是直觉主义学派所始料未及的。可以认为，计算机科学及现代数学的发展将对数学的构造性提出新的要求，使构造性数学具有突出的重要地位。3 构造法的基本概念在数学解题过程中，若按习惯性定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己的思维范围。所谓“构造法”，就是根据题设的特点，用已知条件中的元素和关系式构造一种新的数学形式，如方程，函数，图形等，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得到解决的这样一种方法。构造法是数学中的一种重要方法，它具有下述三个特点：在构造性思维过程中，常常要伴随观察、分析、综合、联想、猜想等思维活动而进行；构造性思维有时体现在解决问题的全过程中，也有时体现在解决问题的关键环节或步骤中；在构造的“框架”上，必须在有限的步骤内能具体实现。在应用构造性思维时，一是需要有扎实的基础知识和具有创造性思维的品质；二是要有明确目的，即需要构造的是什么；三是弄清题设条件和结论特点，以便根据特点，设计构造方案。第三章构造法与解题用构造法处理问题时，“构造物”的表现形式是多种多样的：有的是沟通问题条件和结论的“辅助元素”；有的是问题结论所叙述的数学对象；有的是从问题的结论出发，从而得出“矛盾”。因此，构造法在求解数学分析、代数、几何、三角函数的问题中有着广泛的应用。然而，数学中的构造方法，主要有以下几种方式：构造辅助元素，构造结论，构造矛盾，构造反例，本文主要针对构造辅助元素法进行举证，其它构造方法简单带过。在对数学问题进行分析和转化的过程中，为使问题的条件和结论能互相衔接起来，常常需要添加一些题目所给的以外的其它数学对象才能达到目的，这些已知条件以外的数学对象就是我们需要构造的辅助元素。在解决高等数学问题时，通过构造辅助元素而获解的问题极为普遍，常见的有构造函数、构造级数、构造积分式、构造图形、构造复数、构造代数式、构造辅助线（角）等。1 构造辅助元素1.1构造法在解决数学分析问题中的应用1.1.1构造函数函数在我们整个中学数学中占有相当的内容,学生对于函数的性质也比较熟悉。选择熟悉的内容来解决高等数学中的问题,既可以训练人的思维,同时也增强了思维的灵活性、开拓性和创造性。所谓的构造函数指的是：由问题的条件及所给的数量关系为对象，构想、组合一种新的关系，使问题在新的关系下实现转化而获得解决。构造函数是比较抽象的构造性思维，除对问题条件特点分析之外，还要求熟悉典型的函数及其特性。在数学分析（上册 第三版 华东师范大学数学系 编）教材中，拉格朗日中值定理的证明就是典型的构造函数的例子：例1.若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；则在开区间内至少存在一点，使得.证明：不难看到，当时，拉格朗日定理就成为了罗尔定理，也就是说罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日定理，需要作一个辅助函数，使它满足罗尔定理的条件，由平面解析几何知，通过两点与的割线方程是设辅助函数是函数与割线的方程之差，即不难验证在上满足罗尔定理的条件，也就是说在里存在一点，使得从而有.故得证。为了更好的说明构造函数的实际应用价值，我们再举出一个通过构造辅助函数而使问题得到解决的例子。同样，我们可以通过构造辅助函数的方式，证明柯西中值定理。例2.设函数和满足(1)在闭区间上都连续；(2)在开区间内都可导；(3)和不同时为零；(4)，则存在，使得 .证明：作辅助函数显然在上满足罗尔定理条件，故存在，使得 因为（否则由上式也为零），所以上式可改写为.故得证。上例1、2中的就是构造出来的辅助函数，利用它可以运用罗尔定理使拉格朗日中值定理以及柯西中值定理得到直观而有效的证明。理解和掌握函数的，思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。1.1.2构造级数级数与函数、数列、导数、积分等诸多知识密切地联系在一起。根据问题条件中的数量关系和结构特征,构造出一个级数, 然后依据级数的理论, 使问题在新的关系下达到转化而获解。下面就是一个构造级数的例子：例3.设的定义如下：，求。解：构造级数（设），具体的写出如下：，因此上例中的级数就是构造的级数，通过合适的构造，使原问题变得更加简单易求。1.1.3构造积分式通过构造积分式，利用积分的概念和性质，把级数求和问题转化成为定积分问题或用于计算积分等，常常都能达到化难为易、化繁为简的效果。例4.计算。解：构造积分式，于是，当时，是收敛的，且当时，所以在上一致收敛。所以有上例就是构造了一个积分式，从而避免了复杂的计算过程。一般地, 对于定积分，想办法引入一个在矩形区域， 上连续的函数使得，于是。如果比较容易计算, 那么由计算就可以得 到定积分的值。1.1.4构造辅助角例5.已知，求.解析：一般为寻求规律，可以从开始求几个具体结果来分析。逐次求导，则，不难发现规律利用上式，就有虽然结果求出来了，但其分段表示的形式却不够理想。回想与本例有关的并且已经解决的类似问题，自然会联想到正弦函数的阶导数的求法：；一般地，可得这个过程引入了辅助角，利用它使余弦函数转化成了正弦函数，从而使每次求导出的结果与先前的函数保持了一致的形式，显示出了规律性的本质。那么本例是否可以如法炮制呢？利用等式所以本题有如下的解法：对逐次求导，并化成同一形式，有一般地，可得可以看到，辅助角的引用是上述解法的关键的一步。它的引用简化了原来结果的分段形式，使结果更加简洁直观。1.1.5构造辅助线实际上，在不定积分的求解过程中，通过从图形中构造辅助线也可以让问题转化。下面来看一个例子：例6.计算，其中由和所围成的闭区域。图1解析：观察被积函数和积分域的特点，引入辅助线，该线将分为和，如上图所示。而关于轴对称并且为关于的奇函数；而关于轴对称并且是关于的奇函数，所以本例通过做辅助线使得问题顺利解答。2.1构造法在解决代数问题中的应用2.1.1构造图形华罗庚曾说过“数离开形少直观,形离开数难入微”,利用数形结合的思想,可沟通代数与几何的关系,使得难题巧解。所谓构造图形指的是如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，则可通过几何作图构造图形，将题设条件及其数量关系直接在图形中得到实现，然后在构造的图形中寻求原问题的结论。例7.已知，均在内，求证：。证明：构造一个边长为1的正三角形，分别是，上的点，使，显然，,从而，则图2由图2可知：，即。上例中构造了一个三角形，然后很直观的利用几何图形，把数的关系转换成形的问题，使其直观化。解题时要观形思数，由数想形。2.1.2构造复数 复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题。虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。例8.求证：证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数， ， ， 模的和，又注意到，于是由 可得例8中就是构造了复数，再利用复数的基本性质，让原问题轻松化解。2.1.3构造线性方程组例9.计算行列式的值.解：构造线性方程组 （1）则当中有两个相等时，；当互不相等时，由行列式可知：方程组有唯一解。其中 （2）再做次方程 （3）由（1）知（3）存在个不同的根，由韦达定理知：故3.1构造法在解决几何问题中的应用3.1.1构造多元函数在几何问题中,我们往往会遇到求夹角的最小(大)值和求线段的最短(长)距离等问题,如果仅仅从几何方面去思考,往往使问题难以解决,倘若能够灵活地运用构造法,问题则会趋于简单。例10. 抛物面被平面截成一椭圆,求原点到椭圆的最长与最短距离.解：设为椭圆上任意一点，依题意有，而且有，利用拉格朗日乘数法，构造一个三元函数（为待定常数）由方程组 解得分别得到可能的极点为及分别代入中有，所以原点到椭圆的最短距离为，最长距离为.3.1.2构造复数例11.已知双曲线：和点，点在双曲线的右支上运动，以为边作正三角形，如图3所示，且三点按逆时针排列，求点的轨迹。图3分析：此题如果按常用的求轨迹的方法去求解，计算量相当大。注意到可由按顺时针旋转得到，所以我们应该想到将坐标平面看作复平面，利用复数的相关几何意义来求解。解：根据双曲线的定义，双曲线的复数方程为： （1）设点对应的复数为，点对应的复数为,又点对应的复数为，于是，.由可得 （2）又点在双曲线上，将（2）代入（1），整理的所以点的轨迹是以和为焦点，长轴长为8的双曲线的右支.4.1构造法在解决三角函数问题中的应用4.1.1构造方程例12.已知锐角满足，求证：。证明：已知条件可视为关于的一元二次方程，由题意可得：由 因为是锐角，所以也均为锐角，由一元二次方程求根公式得：又则，再由，则有，故4.1.2构造函数例13.在斜中，证明证明：构造函数则又因为在中，所以，即而，所以在上单调递减因此，在上恒有又因为在中，,故，即整理得：，故得证。4.1.3构造不等式例14.设是锐角，且满足，求证：证明：因为是锐角，则均大于0所以同理得由+得，即得，于是，等号同时成立即有且，所以有且从而有，所以，故得证。4.1.4构造复数例15.已知，求解：构造复数，则所以.又所以，代入式则所以又所以因此，2 构造结论在数学中有很多命题是断言存在着具有某种特定性质的数学对象或断言某种数学对象具有某种特定的性质。对于这类数学命题，人们通常采用的方法是构造结论。就是说按照命题条件，根据数学中的某些关系，构造出结论中所叙述的数学对象。这种用构造结论的方法对数学命题作出证明，又成为“构造性证明”。常用的方法是构造算法和构造特例。2.1构造 “算法”对待数学问题，我们直接设计，构造出一种可行的程序或“算法”，使之在有限次内能够实现问题的结论，从而使问题解决，就称为构造算法。2.2构造特例按照命题条件，根据某些数学关系结构，构造出一个特例，使之直接指明命题结论中所叙述的数学对象。3 构造矛盾所谓构造矛盾法,就是首先否定原命题,再利用否定后的命题构造出一个能够明显暴露其错误的对象,从而导出矛盾,使原命题得证。前言中的欧几里德所使用的实际上就有构造矛盾的思想在里面。4 构造反例为了说明一个命题不真,常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例,这个过程叫做构造反例。选择特殊值,极端情形,常常是构造反例的。反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性。构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。学生可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，有利于创新能力的培养。第四章 构造法的优点构造法是一种精巧的数学方法，其策略具有非常规性，方法带有试探性，思维富有创造性。因此，构造法解题是数学中最富有活力的思想方法之一，而且具有还原、分解、简化及数形转化功能，对培养学生的创造性思维大有裨益。构造法在解题过程中为什么能产生如此大的功力和效能呢，从以下几个方面进行探讨：1 还原功能众所周知，解数学题的思维过程，实质上是将该命题的信息情景经过加工、调节，使之符合于最基本的数学模型，从而使问题回到己知的知识领域，现出其本来面目。构造法本身就具有完成这样改造命题信息情景的还原功能。例1、2中辅助函数的构造就使得问题回到了我们已学过的定理上来了。2 分解功能对于某些具有多层次结构的复杂问题，常能在心理上造成一种压抑感，使思维在一定的时候受到阻碍，这时如果施以构造法，把原问题分解成若干步骤，再逐一加以解决，最后就能使命题得解。3 简化功能构造法的这种特殊功能还表现在使复杂的条件或结论经过加工、处理，构造某一种数学模型后，使问题变得简单明了;或者是先施以某种换元，再进行构造，使问题表达过程简缩，从而利于促成解题思路的形成。例3、4、6、7都把构造法的简化功能很好得体现了出来。构造级数、积分式、复数、代数式、辅助角都是经过构建模型或者进行某种换元，使原问题得到化解。4 数形转换功能数学中大量的数式问题暗含着形的信息，反之，形的特征又隐藏着数的因素。根据解题的要求，有时需要把数转换为形，运用形的性质解决数的问题，有时则需要以形释数，运用数的规律寻觅处理形的方法。构造法往往能在数与形之间架设一座桥梁，沟通它们之间的关系。例4、8就是典型的数形结合，在数与形之间完美转换找到解决问题的最佳途径。第五章 结 语通过以上的探讨，可以发现，构造法在高等数学解题中有着意想不到的功效，它使问题很快得到解决。构造法解题重在“构造”，它能启发多角度多渠道的广泛联想，获得许多构思巧妙、新颖独特、简洁有效的解题方法，加强知识的理解，培养思维的灵活性，提高人分析问题时的创新能力。因此研究构造法，研究数学方法，不仅对培养数学能力意义重大，它作为一种重要的“数学思想”还有着更深刻的内涵。可以说，数学思想是人们数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名活无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特征，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和互相支持的关系等。历史上，数学家们作一些数学思想上面的探讨是很困难的，是零零碎碎的，有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中体会到创造的艰辛，培养科学的精神。事实上，世界各国都已经认识到，在当今和未来社会的许多行业，直接用到学校数学知识的机会并不太多，而且也不是固定不变的，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪，以此去解决生活中所面临的实际问题。更远一点来说便是：运用数学的思想培养生活中为人处事的方式和原则，利用数学家们的精神陶冶自己，培养艰苦奋斗的和创新的能力，实现自己的人生价值和意义。第六章 致 谢大学四年即将结束，也意味着即将告别学生生涯。但正如比尔盖茨所说：“人生是没有假期的。”结束的也只是学生生涯，学习的路还很长，需要学习的还很多，无涯的学海也才刚刚扬帆起航。四年大学生活的得与失，也是不能一言以盖之的，更不是仅以一篇论文所能表达的！也许正应了一句话：“工夫全在文章外。”毕业论文是自读书以来做的时间最长的一次作业，从课题选择到具体的写作过程，自己当然也花费了很多的时间和精力，但是也凝聚着老师的心血和汗水。首先，我要衷心感谢一直以来给予我无私帮助和关爱的老师们，特别是我的指导老师、系党总支书记邵毅老师。他要指导很多同学的论文，加上本来就有的行政领导事物和教学任务，工作量之大可想而知