高考数学一轮复习考案 3.2 等差数列课件 文.ppt

3 2等差数列 等差数列是一种特殊的数列 是本章知识的重点内容之一 复习时要重点把握等差数列的定义 等差数列的性质 等差数列的通项公式及变形 等差数列的前n项和sn与最值等方面的问题 在新课标中 强调创设具体的问题情境加强对等差数列知识的应用 同时指明了等差数列与一次函数的关系 要加以重视 预测在2013年高考中 本节知识可出现在填空题与选择题和综合题中 以考查等差数列的性质为主 多为容易题 在解题中重点考查等差数列的概念及其中包含的函数与方程 化归与转化等思想方法 与函数 不等式 解析几何 等知识综合考查时 多为中档难题 复习中一定要认真对待 注重基础 1 等差数列的概念 若数列 an 从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 则数列 an 叫等差数列 这个常数叫等差数列的公差 常用字母d表示 定义的数学表达式为an 1 an d n n 2 等差数列的通项公式an a1 n 1 d 推广 an am n m d 变式 a1 an n 1 d d 3 等差中项 若a b c成等差数列 则b称a与c的等差中项 且b a b c成等差数列是2b a c的充要条件 4 等差数列的前n项和sn sn na1 d nan n 1 nd 变式 a1 n 1 an n 1 5 等差数列的性质 1 若m n p q n 且m n p q 则对于等差数列有等式am an ap aq 2 序号成等差数列的项依原序构成的数列 则新数列成等差数列 3 sk s2k sk s3k s2k 成等差数列 4 也是一个等差数列 5 在等差数列 an 中 若项数为2n 则s偶 s奇 nd 若项数为2n 1 则s奇 nan s偶 n 1 an 6 等差数列的增减性 d 0时为递增数列 且当a1 0时 前n项和sn有最小值 d0时 前n项和sn有最大值 7 设数列是等差数列 且公差为d 若项数为偶数 设共有2n项 则 s偶 s奇 nd 若项数为奇数 设共有2n 1项 则 s奇 s偶 an a中 1 已知数列 an 中 an 1 an 且a1 2 则a2011等于 a 1005 b 1006 c 1007 d 1008 解析 由题意知 an 1 an an 是等差数列 a2011 2 2011 1 1007 答案 c 2 2011年宁夏银川一中质检 已知数列 an 为等差数列且a1 a7 a13 4 则tan a2 a12 的值为 a b c d 解析 由等差数列的性质可知 3a7 4 a7 tan a2 a12 tan 2a7 tan 答案 d 3 2011年惠州市二模 已知等差数列 an 中 a2 6 a5 15 若bn a3n 则数列 bn 的前9项和 解析 由 所以an 3 3 n 1 3n bn a3n 9n 数列 bn 的前9项和为s9 9 405 答案 405 4 已知等差数列的前n项和为sn 若a4 18 a5 则s8 解析 由已知可知a4 a5 18 s8 4 a4 a5 72 答案 72 题型1五个基本量的有关计算 例1 1 2011年重庆卷 在等差数列 an 中 a2 2 a3 4 则a10等于 a 12 b 14 c 16 d 18 2 设sn为等差数列 an 的前n项和 若s3 3 s6 24 则a9 3 云南省2011届高三数学一轮复习测试 等差数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 且 则使得为整数的正整数n的个数是 a 3 b 4 c 5 d 6 分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和sn的公式 找到a1 an d sn n五个量之间的关系 合理利用公式 有效快速地解方程 解析 1 d a3 a2 4 2 2 a10 a2 8d 2 8 2 18 故选d 2 解得 a9 a1 8d 15 故填15 3 因为 又 7 只有n 2 1 3 11 33时 才为正整数 所以命题成立的n有4个 答案 1 d 2 15 3 b 点评 有关等差数列的计算问题常涉及五个元素 首项a1 公差d 通项an 项数n 前n项和sn 其中a1和d是确定等差数列的两个基本元素 只要把它们求出 其余的元素便可以求出 但有时单一的用方程的思想解题 所需的运算量大且运算繁琐 所以 解题时应具体分析题意 寻求较简捷的方法 从而起到事半功倍的效果 变式训练1 1 2011年江西卷 设 an 为等差数列 公差d 2 sn为其前n项和 若s10 s11 则a1等于 a 18 b 20 c 22 d 24 2 2011年湖南卷 设sn是等差数列 an n n 的前n项和 且a1 1 a4 7 则s5 3 已知数列 an 为等差数列 sn为其前n项和 a7 a5 4 a11 21 sk 9 则k 解析 1 s10 s11 a11 s11 s10 0 a11 a1 10d a1 20 0 a1 20 2 3d a4 a1 7 1 6 d 2 s5 5 a1 d 25 3 a7 a5 2d 4 d 2 a1 a11 10d 21 20 1 sk k 2 k2 9 又k n 故k 3 答案 1 b 2 25 3 3 例2 1 2011年重庆卷 在等差数列 an 中 a3 a7 37 则a2 a4 a6 a8 题型2等差数列性质的应用 2 在等差数列 an 中 a6 a3 a8 则s9等于 a 0 b 1 c 1 d 以上都不对 分析 1 由若m n p q n 且m n p q 则am an ap aq成立来求解即可 2 由 1 同样的性质可知 a5 a6 a3 a8成立 可得a5 由s9 9a5可得 解析 1 a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 故a2 a4 a6 a8 2 37 74 2 a3 a8 a5 a6 a6 a5 0 s9 9a5 0 答案 1 74 2 a 点评 巧用性质 减少运算量 在等差数列的计算中非常的重要 利用等差数列的性质解题 一定要从等差数列的本质特征入手去思考 分析题意 才能做到事半功倍 变式训练2 1 2011年山东临沂质检 在等差数列 an 中 若a2 a4 a6 a8 a10 80 则a7 a8的值为 a 4 b 6 c 8 d 10 2 2011年辽宁卷 sn为等差数列 an 的前n项和 s2 s6 a4 1 a5 解析 1 性质若m n p q n 且m n p q 则am an ap aq可知a2 a10 a4 a8 2a6 a6 16 a7 a8 a6 8 2 s2 s6 a3 a4 a5 a6 0 由性质可知 a4 a5 0 a4 1 a5 1 答案 1 c 2 1 题型3等差数列的判定或证明 例3 2011年全国卷 设数列 an 满足a1 0且 1 1 求 an 的通项公式 2 设bn sn bk 证明sn 1 分析 抓住等差数列的定义 学会判断或证明等差数列的方法 并且对于 2 中的求和可以利用裂项相消法求数列的和 解析 1 由 1 得为等差数列 首项为 1 d 1 于是 1 n 1 1 n 1 an an 1 2 bn sn bk 1 1 命题成立 点评 等差数列的定义是判定或证明一个数列为等差数列的基本方法之一 利用它解题时务必注意式子an 1 an d的要求是对于任意n 2的正整数成立 变式训练3在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 解析 an 1 2an 2n 1 1 由等差数列的定义可知 数列 是以1为首项 以1为公差的等差数列 即数列 bn 是等差数列 例4 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 15 a4 a6 6 则当sn取最小值时 n等于 a 5 b 7 c 5或6 d 6或7 题型4等差数列前n项和sn的最值 2 2011年广东卷 等差数列前9项的和等于前4项的和 若a1 1 ak a4 0 则k 分析 利用等差数列的函数特征可知 等差数列为单调数列 关键要由公差的正负来决定 或由等差数列的前n项和sn的二次函数特性可知 解析 1 设该数列的公差为d 则a4 a6 2a1 8d 2 15 8d 6 解得d 3 令an 15 3 n 1 0得n 6 故选c 2 法一 由题意可知 s9 s4 a5 a6 a7 a8 a9 0 由等差数列的性质可知 a5 a6 a7 a8 a9 5a7 0 a7 0 同理由性质可知 2a7 0 ak a4 k 10 法二 由题得 d k 10 答案 1 c 2 10 点评 本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用 考查二次函数最值的求法及计算能力 变式训练4 1 2011年长沙模拟 若 an 是等差数列 首项a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a20040成立的最大的自然数n是 a 4005 b 4006 c 4007 d 4008 2 2011年温州模拟 已知等差数列 an 中 公差d 0 a2009 a2010是方程x2 3x 5 0的两个根 那么使得前n项和sn为负值且绝对值最大的n的值是 解析 1 由等差数列的一次函数特性可知 等差数列是单调数列 由已知可知 a2003 0 a20040 s4007 4007a20040成立的最大的自然数n是4006 2 由根与系数的关系可知 a2009 a2010 3 0 a2009 a2010 50 a20090 a2009是最后一个负项 前2009项的和为最小即为sn绝对值的最大值时n