广东省肇庆市高考数学三模试卷 理（含解析）.docVIP

广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设i为虚数单位，则复数z=i（1i）对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），则2=（）a（3，7）b（3，9）c（5，7）d（5，9）3（5分）在abc中，ab=5，ac=3，bc=7，则bac=（）abcd4（5分）执行如图的程序框图，则输出的值p=（）a12b10c8d65（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）abcd6（5分）设等比数列an的前n项和为sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）abcd7（5分）过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若|af|=3，则aob的面积为（）abcd28（5分）对于非空集合a，b，定义运算：ab=x|xab，且xab，已知m=x|axb，n=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则mn=（）a（a，d）（b，c）b（c，ab，d）c（c，a）（d，b）d（a，cd，b）二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（913题）9（5分）如图是某2015届高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为10（5分）函数y=ln（x2）+的定义域11（5分）不等式|2x+1|5x|0的解集为12（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种13（5分）已知为不等式组所表示的平面区域，e为圆（xa）2+（yb）2=r2（r0）及其内部所表示的平面区域，若“点（x，y）”是“点（x，y）e”的充分条件，则区域e的面积的最小值为（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题（坐标系与参数方程选做题）14（5分）极坐标系（，）（02）中，点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的极坐标是（几何证明选讲选做题）15如图，ab是圆o的直径，且ab=6，cd是弦，ba、cd的延长线交于点p，pa=4，pd=5，则cod=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sin（+x）（sin（+x）cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，0，f（+）=，求sin（2）的值17（12分）某校2014-2015学年高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表优秀非优秀总计课改班50非课改班20110合计210（1）请完成上面的22列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关”；（2）把全部210人进行编号，从编号中有放回抽取4次，每次抽取1个，记被抽取的4人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望e18（14分）如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，pd底面abcd，pd=ad，e为pc的中点，f为pb上一点，且efpb（1）证明：pa平面edb；（2）证明：acdf；（3）求平面abcd和平面def所成二面角的余弦值19（14分）已知数列an满足：a1=，3an+12an=1（nn*）；数列bn满足：bn=an+1an（nn*）（1）求数列an的通项公式及其前n项和sn；（2）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列20（14分）已知直线l：y=x+2与双曲线c：=1（a0，b0）相交于b、d两点，且bd的中点为m（1，3）（1）求双曲线c的离心率；（2）设双曲线c的右顶点为a，右焦点为f，|bf|df|=17，试判断abd是否为直角三角形，并说明理由21（14分）已知函数f（x）=mx（m+2）lnx（mr），g（x）=（1）讨论f（x）的单调区间；（2）是否存在m0时，对于任意的x1，x21，2，都有f（x1）g（x2）1恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设i为虚数单位，则复数z=i（1i）对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数对应点的坐标得答案解答：解：由z=i（1i）=1+i，得复数z=i（1i）对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限故选：a点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）已知向量=（2，4），=（1，1），则2=（）a（3，7）b（3，9）c（5，7）d（5，9）考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的坐标运算求解即可解答：解：向量=（2，4），=（1，1），则2=2（2，4）（1，1）=（5，7）故选：c点评：本题考查向量的坐标运算，考查计算能力3（5分）在abc中，ab=5，ac=3，bc=7，则bac=（）abcd考点：余弦定理 专题：解三角形分析：利用余弦定理表示出cosbac，把三角形三边长代入即可求出bac的余弦值，求解即可解答：解：c=ab=5，b=ac=3，a=bc=7，根据余弦定理得：cosbac=bac=故选：b点评：此题考查了余弦定理，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键4（5分）执行如图的程序框图，则输出的值p=（）a12b10c8d6考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=208时，不满足条件s100，退出循环，输出p的值为10解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，s=0满足条件s100，s=4，k=2满足条件s100，s=16，k=3满足条件s100，s=48，k=4满足条件s100，s=208，k=5不满足条件s100，退出循环，得p=10，输出p的值为10故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查5（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一棱长为1的正方体，去掉一三棱锥，如图所示；该几何体的体积是v几何体=13121=故选：a点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目6（5分）设等比数列an的前n项和为sn，若8a2+a5=0，则下列式子中数值不能确定的是（）abcd考点：等比数列的性质 专题：计算题分析：根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出公比q的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可找出四个选项中数值不能确定的选项解答：解：由8a2+a5=0，得到=q3=8，故选项a正确；解得：q=2，则=q=2，故选项c正确；则=，故选项b正确；而=，所以数值不能确定的是选项d故选d点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题7（5分）过抛物线y2=4x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点，o为坐标原点若|af|=3，则aob的面积为（）abcd2考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质 专题：压轴题分析：设直线ab的倾斜角为，利用|af|=3，可得点a到准线l：x=1的距离为3，从而cos=，进而可求|bf|，|ab|，由此可求aob的面积解答：解：设直线ab的倾斜角为（0）及|bf|=m，|af|=3，点a到准线l：x=1的距离为32+3cos=3cos=m=2+mcos（）aob的面积为s=故选c点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键8（5分）对于非空集合a，b，定义运算：ab=x|xab，且xab，已知m=x|axb，n=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，则mn=（）a（a，d）（b，c）b（c，ab，d）c（c，a）（d，b）d（a，cd，b）考点：子集与交集、并集运算的转换 专题：新定义；函数的性质及应用分析：本题可先由知m=x|axb，n=x|cxd，其中a、b、c、d满足a+b=c+d，abcd0，得到a，b，0，c，d的大小关系，再由新定义mn的意义即可求出解答：解：由已知m=x|axb，ab，又ab0，a0b，同理可得c0d，由abcd0，c0，b0，又a+b=c+d，ac=db，又c0，b0，db0，因此，ac0，ac0db，mn=n，mn=x|axc，或dxb=（a，cd，b）故选d点评：本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换，充分理解以上概念及运算法则是解决问题的关键二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（913题）9（5分）如图是某2015届高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数为94.5考点：茎叶图 专题：概率与统计分析：根据中位数的概念和茎叶图中的数据，即可得到数据中的中位数解答：解：从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114，所以中位数为94与95的平均数94.5故答案为：94.5点评：本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数的求法，要注意在求中位数的过程中，要把数据从小到大排好，才能确定中位数，同时要注意数据的个数10（5分）函数y=ln（x2）+的定义域（2，3考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数y的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可解答：解：函数y=ln（x2）+，解得2x3；函数y的定义域是（2，3故答案为：（2，3点评：本题考查了利用函数的解析式求函数定义域的应用问题，是基础题目11（5分）不等式|2x+1|5x|0的解集为（，6）考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：把要解的不等式等价转化为与之等价的不等式，求解即得所求解答：解：由不等式|2x+1|5x|0，可得（2x+1）2（5x）2，即3x2+14x240，解得x6或x故答案为：（，6）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题12（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册c42种，根据分类计数原理得到结果解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册c42=6种根据分类计数原理知共10种，故答案为：10点评：本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类，属于基础题，13（5分）已知为不等式组所表示的平面区域，e为圆（xa）2+（yb）2=r2（r0）及其内部所表示的平面区域，若“点（x，y）”是“点（x，y）e”的充分条件，则区域e的面积的最小值为考点：简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域 专题：常规题型；数形结合法分析：由线性约束条件画出可行域，求出可行域内两点间的最大距离，以最大距离为直径求出圆的面积即为圆的最小面积解答：解：根据约束条件画出可行域“点（x，y）”是“点（x，y）e”的充分条件阴影部分应在圆内或在圆上，则r，则圆的面积最小值为：=故答案为：点评：本题考查了线性规划的相关知识，区域内两点间的最大距离的求法，及圆的面积公式；综合性较强，同时也是对线性规划问题考查方式的创新（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题（坐标系与参数方程选做题）14（5分）极坐标系（，）（02）中，点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的极坐标是（，）考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：求出点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的直角坐标，再把它化为极坐标解答：解：直线2sin=1即y=，点（1，0）关于直线2sin=1对称的点的直角坐标为（1，1），故对称点的极坐标为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，求一个点关于直线的对称点，属于基础题（几何证明选讲选做题）15如图，ab是圆o的直径，且ab=6，cd是弦，ba、cd的延长线交于点p，pa=4，pd=5，则cod=60考点：弦切角 专题：立体几何分析：直接利用圆的割线定理求出弦cd的长，利用ab的长确定三角形ocd为正三角形，进一步求出结果解答：解：ab是圆o的直径，cd是弦，ba、cd的延长线交于点p，利用割线定理得：papb=pdpc，由于：ab=6，pa=4，pd=5，所以：pa（pa+ab）=pd（pd+cd），解得：cd=3，所以：ocd为正三角形，则：cod=60故答案为：60点评：本题考查的知识要点：割线定理的应用，正三角形的性质，主要考查学生的应用能力三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（12分）已知函数f（x）=sin（+x）（sin（+x）cos2x（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若，0，f（+）=，求sin（2）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步求出函数的周期（2）利用函数的关系式，进一步通过恒等变换，求出，最后求出结果解答：解：（1）函数f（x）=sin（+x）（sin（+x）cos2x=，所以函数f（x）的最小正周期（2）由（1）得=cos，由，得因为，0，所以，所以：，所以：=点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的应用，利用函数的关系式求函数的值，主要考查学生的应用能力17（12分）某校2014-2015学年高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表优秀非优秀总计课改班50非课改班20110合计210（1）请完成上面的22列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改有关”；（2）把全部210人进行编号，从编号中有放回抽取4次，每次抽取1个，记被抽取的4人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差 专题：应用题；概率与统计分析：（1）确定22列联表，计算k2，与临界值比较，即可得出结论；（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，可得的分布列及数学期望e解答：解：（1）优秀非优秀总计课改班5050100非课改班2090110合计70140210（2分）k2=23.866.635，（5分）所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关（6分）（2）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4（7分）由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为=，（8分）p（=0）=c40（）0（）4=；p（=1）=c41（）1（）3=；p（=2）=c42（）2（）2=；p（=3）=c43（）3（）1=；p（=4）=c44（）4（）0=所以的分布列为：01234p（10分）e=0+1+2+3+4=（12分）点评：本题考查了独立性检验、分布列及其数学期望，正确计算是关键，属于中档题18（14分）如图，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，pd底面abcd，pd=ad，e为pc的中点，f为pb上一点，且efpb（1）证明：pa平面edb；（2）证明：acdf；（3）求平面abcd和平面def所成二面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）连接ac交bd于点g，连接eg通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）由题易得acpd，通过线面垂直的性质定理可得结论；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，所求值即为平面def的一个法向量与平面abcd的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可解答：证明：（1）连接ac交bd于点g，连接eg四边形abcd是正方形，点g是ac的中点，又e为pc的中点，因此egpa而eg平面edb，所以pa平面edb（2）四边形abcd是正方形，acbdpd底面abcd，ac底面abcd，acpd而pdbd=d，ac平面pbd，又df平面pbd，所以acdf（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有d（0，0，0），p（0，0，1），a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），所以e（0，）设f（k，k，l），（kl0），则=（k，k，l），=（1，1，1）由efpb，得=0，即，即l=2k，故f（k，k，2k）设平面def的一个法向量=（x，y，z），由，得，解得，取=（1，1，1），又=（0，0，1）是底面abcd的一个法向量，=，故平面abcd和平面def所成二面角的余弦值为点评：本题考查二面角，空间中线线垂直、线面平行的判定定理，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题19（14分）已知数列an满足：a1=，3an+12an=1（nn*）；数列bn满足：bn=an+1an（nn*）（1）求数列an的通项公式及其前n项和sn；（2）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列考点：等差关系的确定；数列的求和；数列递推式 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件得到数列an1是以为首项，为公比的等比数列由此得到数列an的通项公式，然后利用前n项和的定义进行求和；（2）假设数列bn存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn为等差数列，于是有brbsbt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾解答：解：（1）由3an+12an=1，得an+11=（an1）因为a1=，所以a11=，因此数列an1是以为首项，为公比的等比数列所以an1=，即an=1（nn*）所以sn=a1+a2+an=n1+，=n=+n（nn*）（2）由（1），得bn=an+1an=11=下面用反证法证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列假设数列bn中存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有brbsbt，则只能有2bs=br+bt成立所以2=+，两边同乘3t121r，化简得22sr3ts=3tr+2tr因为rst，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中的任意三项不可能成等差数列点评：本题主要考查了数列的递推式对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过递推式变形转换成等差或等比数列20（14分）已知直线l：y=x+2与双曲线c：=1（a0，b0）相交于b、d两点，且bd的中点为m（1，3）（1）求双曲线c的离心率；（2）设双曲线c的右顶点为a，右焦点为f，|bf|df|=17，试判断abd是否为直角三角形，并说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）直线y=x+2和双曲线联立方程，利用中点公式，求出双曲线离心率（2）利用（1）问关系列出|bf|、|df|的关系式，进而解出a的值，然后利用圆的直径所对的圆周角为直角得出结论解答：解：（）由题设知，l的方程为：y=x+2，化入c的方程，并化简，得（b2a2）x24a2x4a2a2b2=0，设b（x1，y1）、d（x2，y2），则，由m（1，3）为bd的中点知，故，即b2=3a2，故，所以c的离心率（）由、知，c的方程为：3x2y2=3a2，a（a，0），f（2a，0），x1+x2=2，x1x2=，故不妨设x1a，x2a，=a2x1，=2x2a，|bf|fd|=（a2x1）（2x2a）=4x1x2+2a（x1+x2）a2=5a2+4a+8，又|bf|fd|=17，故5a2+4a+8=17，解得a=1或a=（舍去），故|bd|=，连结ma，则由a（1，0），m（1，3）知|ma|=3，从而ma=mb=md，且max轴，因此以m为圆心，ma为半径的圆经过a、b、d三点，且在点a处与x轴相切所以过a、b、d三点的圆与x轴相切abd为直角三角形点评：本题主要考查双曲线的离心率的求解和直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，2015届高考中历年常考属2015届高考压轴大题21（14分）已知函数f（x）=mx（m+2）lnx（mr），g（x）=（1）讨论f（x）的单调区间；（2）是否存在m0时，对于任意的x1，x21，2，都有f（x1）g（x2）1恒成立？若存在