北工大工程数学-数学建模实验.docx

1. （1）令S1为SC320型电缆的产量，S2为SC325型电缆的产量，S3为SC340型电缆的产量，S4为SC370型电缆的产量，由于电缆的生产是按单位来生产，多以S1，S2，S3，S4要求为整数，不能出现小数点或小于0的情况。目标函数：Max（Z）=9.4*S1+10.8*S2+8.75*S3+7.8*S4;限制条件：10.5*S1+9.3*S2+11.6*S3+8.2*S4=4800;20.4*S1+24.6* S2 +17.7* S3 +26.5* S4 =9600;3.2* S1 +2.5* S2 +3.6* S3 +5.5* S4 =4700;5.0*( S1 + S2 + S3 + S4)=100;S2 =100;S3 =100;S4 =100;gin(S1);gin(S2);gin(S3);gin(S4);所以当S1即SC320生产100根，S2即SC325生产101根，S3即SC340生产137根，S4即SC370生产100根时，产生最大利润，利润为4009.550$。（2）由上图课件，第2-9行的对偶价格均为0，这是由于S1-4取整的原因，现将整数限制去掉发现：焊接工艺的对偶价格为0.49，而其他工艺步骤的对偶价格为0并且有松弛，因此焊接工艺的时间制约了最大利润的提高。推荐提高焊接工艺。（3）从第二问的图中可以发现，对每种钢材最小生产数量的限制的对偶价格是负值，因此最小生产数量影响了最大利润的提高。如果将最小生产数量限制去掉后，但保持产量取整可发现： 如图：最大利润为4447.7，大于4009.550，最大利润有所增加。所以各种电缆的最低生产数量制约了最大利润的提高。假设某年某工程的完成量用二维变量Txy（%）且Txy0, x表示工程的代码，x=1,2,3,4，y表示年数，y=1,2,3,4,5，如第一年工程1完成T11，工程3完成T31，到第二年工程已完成T12，工程3完成T32，预算、费用和收入的单位为万元。另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润：P1=50T11+50(T11+T12)+50(T11+T12+T13)+50(T11+T12+T13)工程2利润：P2=70T22+70 (T22+T23) +70 (T22+T23+T24)工程3利润：P3=20T31+150 (T31+T32) +150 (T31+T32+T33) +150 (T31+T32+T33+T34)工程4利润：P4=20T43+20（T43+T44）Max(P)=P1+P2+P3+P4=(50T11+50(T11+T12)+50(T11+T12+T13)+50(T11+T12+T13)+(70T22+70(T22+T23)+70(T22+T23+T24)+(150T31+150(T31+T32)+150(T31+T32+T33)+150(T31+T32+T33+T34)+(20T43+20(T43+T44)使得满足：由于第1年的预算为3000万元：5000T11+15000T31=3000由于第2年的预算为6000万元：5000T12+8000T22+15000T32=6000由于第3年的预算为7000万元：5000T13+8000T23+15000T33+1200T43=7000由于第4年的预算为7000万元：8000T24+15000T34+12000T44=7000由于第5年的预算为7000万元：8000T25+15000T35=7000根据题目要求：工程1和4必须在规定的周期内全部完成，其余工程需至少完成25%：T11+T12+T13=1T22+T23+T24+T250.25T22+T23+T24+T251T31+T32+T33+T34+T350.25T31+T32+T33+T34+T351T43+T44=1Txy均大于0Lingo：max=50*(4*T11+3*T12+2*T13)+70*(3*T22+2*T23+1*T24)+150*(4*T31+3*T32+2*T33+1*T34)+20*(2*T43+1*T44);5000*T11+15000*T31=3000;5000*T12+8000*T22+15000*T32=6000;5000*T13+8000*T23+15000*T33+1200*T43=7000;8000*T24+15000*T34+1200*T44=7000;8000*T25+15000*T35=7000;T11+T12+T13=1;T22+T23+T24+T25=0.25;T31+T32+T33+T34+T35=0.25;T43+T44=1;End输出结果：由结果可以看出第一年应将所有预算投入工程3（15000*0.2=3000）中，第二年应将全部预算投入工程3（15000*0.4=6000）中，第三年应将5000万（5000*1=5000）投入工程1中，1200（1200*1=1200）万投入工程4中,800万投入工程3中，第四年应将1800万投入工程2中，5200万投入工程，第五年应将200万投入工程2中，剩余6800万。五年的最大收入为523.75万元 假设：用Y1A,Y2A,Y3A表示第1、2、3年A计划的投入（单位：美元），用Y1B,Y2B,Y3B表示第1、2、3年B计划的投入。 第3年末的收入达到最大，由于B计划只允许以两年为周期制定投资计划，所以B计划可能在第1年投入，第2年获收益；第2年投入，第3年获收益；不可能第3你啊你投入。A计划则可以在每年初投入，年末获得收益。所以在3年末的收入最大及时使Z=1.7*Y3A+4*Y2B最大。 由于投资总额为100000美元，所以 Y1A+Y1B=100000 1.7*Y1A=Y2A+Y2B 1.7*Y2A+4*Y1B=Y3ALingo:MAX=1.7*Y3A+4*Y2B;Y1A+Y1B=100000;1.7*Y1A=Y2A+Y2B;1.7*Y2A+4*Y1B=Y3A;End输出结果：第1年投入B计划100000美元，第3年投入A计划400000美元，三年末收入最大为680000美元。 假设：令X6A,X7A,X8A表示A产品在6、7、8月的生产时间（单位小时），X6B,X7B,X8B表示B产品在6、7、8月的生产时间。最优方案即在满足需求的情况下，使A,B两种产品的储存成本和生产成本之和最小。MIN=MINA+MINB MINA=(1.25*X6A-500)*0.9+1.25*X6A*30+(1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000)*0.9+1.25*X7A*30+(1.25*X8A+(1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000)-750)*0.9+1.25*X8A*30MINB=(1*X6B-1000)*0.75+1*X6B*28+(1*X7B+(1*X6B-1000)-1200)*0.75+1*X7B*28+(1*X8B+(1*X7B+(1*X6B-1000)-1200)-1200)*0.75+1*X8B*28X6A+X6B=3500X7A+X7B=3500X8A+X8B=0;1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000=0;1.25*X8A+(1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000)-750=0;1*X6B-1000=0;1*X7B+(1*X6B-1000)-1200=0;1*X8B+(1*X7B+(1*X6B-1000)-1200)-1200=0;LingoMIN=(1.25*X6A-500)*0.9+1.25*X6A*30+(1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000)*0.9+1.25*X7A*30+(1.25*X8A+(1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000)-750)*0.9+1.25*X8A*30+(1*X6B-1000)*0.75+1*X6B*28+(1*X7B+(1*X6B-1000)-1200)*0.75+1*X7B*28+(1*X8B+(1*X7B+(1*X6B-1000)-1200)-1200)*0.75+1*X8B*28;X6A+X6B=3500;X7A+X7B=3500;X8A+X8B=0;1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000=0;1.25*X8A+(1.25*X7A+(1.25*X6A-500)-5000)-750=0;1*X6B-1000=0;1*X7B+(1*X6B-1000)-1200=0;1*X8B+(1*X7B+(1*X6B-1000)-1200)-1200=0;End输出结果为：A产品6月生产900小时生产1125个，7月3500小时生产4375个，8月600小时生产750个；B产品6月生产2200小时生产2200个，7月不生产，8月生产1200小时生产1200个；满足需求，且成本最小为284162.5美元。（1）设xi为每天工作的人数i=1,2,3,4,5,6,7则目标函数min=（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7）*200约束条件:x1+x4+x5+x6+x718x1+x2+x5+x6+x715 x1+x2+x3+x6+x712 x1+x2+x3+x4+x716 x1+x2+x3+x4+x519 x2+x3+x4+x5+x614 x3+x4+x5+x6+x712x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7为人数，取整lingo:min=200*x1+200*x2+200*x3+200*x4+200*x5+200*x6+200*x7;x1+x4+x5+x6+x7=18;x1+x2+x5+x6+x7=15;x1+x2+x3+x6+x7=12;x1+x2+x3+x4+x7=16;x1+x2+x3+x4+x5=19;x2+x3+x4+x5+x6=14;x3+x4+x5+x6+x7=12;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);end 输出结果： 周一安排7人，周二2人，周三0人，周四6，周五4人，周六2人，周日1人，总费用最小为4400元。（2）设xi为每天全职人员工作的人数i=1,2,3,4,5,6,7；设yi为每天兼职人员工作的人数i=1,2,3,4,5,6,7。则目标函数min=（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7）*8*25+（y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7）*4*15约束条件:(x1+x4+x5+x6+x7)*8+(y1+ y4+y5+y6+y7)*418*8(x1+x2+x5+x6+x7)*8+(y1+y2+y5+y6+y7)*415*8 (x1+x2+x3+x6+x7)*8+( y1+y2+y3+y6+y7)*412*8 (x1+x2+x3+x4+x7)*8+ (y1+y2+y3+y4+y7)*416*8 (x1+x2+x3+x4+x5)*8+( y1+y2+y3+y4+y5)*419*8 (x2+x3+x4+x5+x6)*8+( y2+y3+y4+y5+y6)*414*8 (x3+x4+x5+x6+x7)*8+( y3+y4+y5+y6+y7)*412*8(y1+ y4+y5+y6+y7)*4=18*8*0.25(y1+y2+y5+y6+y7)*4=15*8*0.25( y1+y2+y3+y6+y7)*4=12*8*0.25(y1+y2+y3+y4+y7)*4=16*8*0.25( y1+y2+y3+y4+y5)*4=19*8*0.25( y2+y3+y4+y5+y6)*4=14*8*0.25( y3+y4+y5+y6+y7)*4=18*8;(x1*8+x2*8+x5*8+x6*8+x7*8)+(y1*4+y2*4+y5*4+y6*4+y7*4)=15*8 ;(x1*8+x2*8+x3*8+x6*8+x7*8)+(y1*4+y2*4+y3*4+y6*4+y7*4)=12*8 ;(x1*8+x2*8+x3*8+x4*8+x7*8)+(y1*4+y2*4+y3*4+y4*4+y7*4)=16*8 ;(x1*8+x2*8+x3*8+x4*8+x5*8)+(y1*4+y2*4+y3*4+y4*4+y5*4)=19*8 ;(x2*8+x3*8+x4*8+x5*8+x6*8)+(y2*4+y3*4+y4*4+y5*4+y6*4)=14*8 ;(x3*8+x4*8+x5*8+x6*8+x7*8)+(y3*4+y4*4+y5*4+y6*4+y7*4)=12*8;(y1*4+ y4*4+y5*4+y6*4+y7*4)=18*8*0.25;(y1*4+y2*4+y5*4+y6*4+y7*4)=15*8*0.25;( y1*4+y2*4+y3*4+y6*4+y7*4)=12*8*0.25;(y1*4+y2*4+y3*4+y4*4+y7*4)=16*8*0.25;( y1*4+y2*4+y3*4+y4*4+y5*4)=19*8*0.25;( y2*4+y3*4+y4*4+y5*4+y6*4)=14*8*0.25;( y3*4+y4*4+y5*4+y6*4+y7*4)=500;0.1*XA+0.3*XB=700;0.25*XA+0.1*XB=400;XA=2500;XB= 1 ; 2 * X_1 + 2 * X_2 + 2 * X_6 = 1 ; 3 * X_3 + 3 * X_4 = 1 ; 4 * X_3 + 4 * X_4 + 4 * X_5 = 1 ; 5 * X_4 + 5 * X_5 + 5 * X_6 = 1 ; 6 * X_2 + 6 * X_5 + 6 * X_6 = 1 ; BIN( X_1); BIN( X_2); BIN( X_3); BIN( X_4); BIN( X_5); BIN( X_6);输出结果： 安装两个即可，分别在2和4区建立消防站。针对小区安装监控摄像头问题，根据每条街道都必须被观测到这个要求，将街道是否被观测到分别设为0、1，运用0 - 1规划,依据摄像头最少的原则建立数学模型，可将安装摄像头能覆盖需要监控的区域范围且所需数目最少的要求转化为以每条街道都必须被观测到为约束条件，摄像头数目最少为目标函数，建立0-1分布模型。0-1规划模型可以通过利用矩阵反复迭代最终求得最优解最后用求解，说明所选用的算法切实可行，再利用lingo软件实现求解。在满足监控要求的前提下，约束条件为：街道j的所有交汇点之和大于等于1，表示在这几个交汇点处至少应该安装的摄像头数目，由所有需要监控的街道得出约束条件。约束条件为:所有的街道都有至少有一个摄像头能监控到。综上所述，建立的模型如下：目标函数：约束条件：根据约束条件和目标函数，利用lingo软件，求出结果如下：ixi11,4,6,9,11,12,14,16,19,22,25,28,31,34,36,38,39,41,44,46,4702,3,5,7,8,10,13,15,17,18,20,21,23,24,26,27,29,30,32,33,35,37,40,42,43,45,48,49表一拟装摄像头对街道的监控情况如下表：拟装摄像头交汇点编号监控到的街道编号拟装摄像头交汇点编号监控到的街道编号11，32820，2144，5，6，83125，2666，73427，2898，936291110，183823，3012393931，32，331412，14，40412，321615，16 4434，351913，1746382218，224736，372518，19，2