研究生概率论复习题.ppt

1 一单位有5个员工 一星期共七天 老板让每位员工独立地挑一天休息 求不出现至少有2人在同一天休息的概率 解 将5为员工看成5个不同的球 7天看成7个不同的盒子 记A 无2人在同一天休息 则由上例知 2 例 某厂生产的产品能直接出厂的概率为70 余下的30 的产品要调试后再定 已知调试后有80 的产品可以出厂 20 的产品要报废 求该厂产品的报废率 利用乘法公式 解 设A 生产的产品要报废 B 生产的产品要调试 已知P B 0 3 P A B 0 2 3 例 某行业进行专业劳动技能考核 一个月安排一次 每人最多参加3次 某人第一次参加能通过的概率为60 如果第一次未通过就去参加第二次 这时能通过的概率为80 如果第二次再未通过 则去参加第三次 此时能通过的概率为90 求这人能通过考核的概率 解 设Ai 这人第i次通过考核 i 1 2 3A 这人通过考核 亦可 4 例 从52张牌中任取2张 采用 1 放回抽样 2 不放回抽样 求恰是 一红一黑 的概率 利用乘法公式 与不相容 1 若为放回抽样 2 若为不放回抽样 解 设Ai 第i次取到红牌 i 1 2B 取2张恰是一红一黑 5 例 一单位有甲 乙两人 已知甲近期出差的概率为80 若甲出差 则乙出差的概率为20 若甲不出差 则乙出差的概率为90 1 求近期乙出差的概率 2 若已知乙近期出差在外 求甲出差的概率 Bayes公式 全概率公式 解 设A 甲出差 B 乙出差 6 例 根据以往的临床记录 某种诊断癌症的试验具有5 的假阳性及5 的假阴性 若设A 试验反应是阳性 C 被诊断患有癌症 则有 已知某一群体P C 0 005 问这种方法能否用于普查 若P C 较大 不妨设P C 0 8推出P C A 0 987说明这种试验方法可在医院用 解 考察P C A 的值 若用于普查 100个阳性病人中被诊断患有癌症的大约有8 7个 所以不宜用于普查 7 例 甲 乙两人同时向一目标射击 甲击中率为0 8 乙击中率为0 7 求目标被击中的概率 解 设A 甲击中 B 乙击中 C 目标被击中 甲 乙同时射击 其结果互不影响 A B相互独立 8 例 有4个独立元件构成的系统 如图 设每个元件能正常运行的概率为p 求系统正常运行的概率 注意 这里系统的概念与电路中的系统概念不同 9 10 下列给出的是不是某个随机变量的分布列 1 2 3 解 1 是 2 不是随机变量的分布列 3 所以它不是随机变量的分布列 11 设随机变量的分布列为 求 1 2 3 12 解 x 0 1 2 P x 0 0 1 0 1 0 01P x 1 2 0 1 0 9 0 18P x 0 0 9 0 9 0 81概率和为1X012P0 010 180 81 1 某篮球运动员投中蓝的概率是0 9 求他两次独立投篮投中次数x的概率分布 13 设随机变量的分布列为求C的值 14 15 16 若p较小 p 0 只要n充分大 至少有一次命中的概率很大 即 小概率事件 在大量试验中 至少有一次发生 几乎是必然的 17 例4 设有80台同类型设备 各台工作是相互独立的 发生故障的概率都是0 01 且一台设备的故障能有一个人处理 考虑两种配备维修工人的方法 其一是由4个人维护 每人负责20台 其二是由3个人共同维护80台 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小 18 19 泊松分布 Poisson分布 若随机变量X的概率分布律为称X服从参数为 的泊松分布 记 例 设某汽车停靠站候车人数 1 求至少有两人候车的概率 2 已知至少有两人候车 求恰有两人候车的概率 解 20 21 某人进行射击 每次命中率为0 02 独立射击400次 试求至少击中两次的概率 22 23 24 25 26 27 28 函数在下列范围内取值 它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数 解 作为连续型随机变量的密度函数 在定义范围内满足 故可作为密度函数 不可 不可 29 30 31 设连续型随机变量的分布函数为 1 求A 2 求密度 3 求1 2 32 33 34 35 例 一批钢材 线材 长度 1 若 100 2 求这批钢材长度小于97 8cm的概率 2 若 100 要使这批钢材的长度至少有90 落在区间 97 103 内 问 至多取何值 36 例 设某地区男子身高 1 从该地区随机找一男子测身高 求他的身高大于175cm的概率 2 若从中随机找5个男子测身高 问至少有一人身高大于175cm的概率是多少 恰有一人身高大于175cm的概率为多少 37 38 39 例 在区间 1 2 上随机取一数X 试写出X的概率密度 并求的值 若在该区间上随机取10个数 求10个数中恰有两个数大于0的概率 解 X在区间 1 2 上均匀分布 设10个数中有Y个数大于0 则 40 5随机变量的函数分布问题 已知随机变量X的概率分布 且已知Y g X 求Y的概率分布 例如 若要测量一个圆的面积 总是测量其半径 半径的测量值可看作随机变量X 若则Y服从什么分布 41 即找出 Y 0 的等价事件 X 1 Y 4 的等价事件 X 1 Y 1 的等价事件 X 0 或 X 2 42 43 44 45 例 设Y 2X Z X2 求Y Z的概率分布 解 Y的可能取值为 2 0 2Z的可能取值为0