周益春-材料固体力学习题解答习题四.doc

第四章 弹性平面问题的习题习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡方程求出及，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？图4-1解： （1）由材料力学公式求正应力：而现在 ，解此微分方程得，其中C1，C0为积分常数由边界条件确定如下：， 。 。（2）据弹性力学平衡方程求及据弹性力学平面问题平衡微分方程，不计体力，即，得 ，由积分此式得，用边界条件确定待定函数：，它也满足。同时，积分此式得，由边界条件确定待定函数。故。（3）验证应力分量表示的协调方程现在不计体力，即，应力分量应满足，即要求 。而现在。故不能满足协调方程。习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力） 解： （1）选择应力函数图4-2载荷q沿x轴呈线性分布，可断定沿x轴呈线性分布。可令 且有边界条件故，解此微分方程得 。这样，应力函数沿x轴的变化规律已定，而待定函数，只是坐标y的函数。（2）检验域内方程把应力函数代入应力协调方程（无体力）得，上式对于任意x均要满足，故x的各次幂的系数为零，即。解这些微分方程得根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令，于是（3）检验边界条件，确定待定系数上下边界为，据得，由以上两式分别相加、减得 （a）又据上下边界中对x为任意值有得 （b）将（b）中的第1式加、减第3式得 （c）将（b）中的第3式加、减第4式得 （d） （e）由（a）式中的第2式和（c）式得 由（e）式得 K=0。由（a）式中的第1式得根据外力平衡得，其中，解此方程得R1和R2：在x=0的端面内据得 （f）由第（d）式和第（f）式得。由，由。综上得： ，应力函数为。习题3、已知载荷分布如图所示，即当周期分别为（1），如图4-3（b）所示。（2） ，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。（3） ，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。试用傅氏级数写出的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。图4-3解：（1）周期为，如图4-3（b）所示。首先将y轴平移d，于是在新坐标系中，将按傅立叶级数展开成 其中 （n=0，1，2，） （n=1，2，）于是 ，。，如图4-3（c）所示，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么（2）设，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。对原来的载荷进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么（3）设，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。对原来的载荷进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是， ，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么。图4-4习题4、连续板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。解：先将y轴平移l，得新坐标系XoY，在新坐标系XoY下将边界载荷化为三角函数形式的，周期为,其中。在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题中的（2）得两处集中载荷P作用下的 （a）在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下：，其中 （n=0，1，2，），而 （n=1，2，）于是 ，其中据外力平衡得。 （b）设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为 这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数。（1）由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与YoZ平面，有对任何Y值都成立，于是。所以应力函数为其中。相应的应力分量是： （c） （d） （e）（2）上、下边的剪应力为零，即得 （f） （g）（3）上边界正应力和（a）式得 （h）（4）下边界正应力和（b）式得 （i）由（f）、（g）、（h）、（i）四式中项和项对应的系数相等（其中）得方程组从上述方程组中解出然后代入（c）、（d）、（e）三式中得到新坐标系XoY下的应力。再进行如下转化：因为c远小于，可以认为，即周期可为2。然后以代入新坐标系XoY下的应力，将新坐标系XoY下的应力转化为旧坐标系xoy下的应力 。习题5、已知复应力函数，式中c为实常数，试求其所代表的应力状态。解：设应力函数 。设。据第一、第二应力组合公式得 ，所以。它可表示为一个矩形板纯弯曲纯的应力状态。如图4-5所示，设梁宽为1，其中弯矩图4-5图4-6习题6、如图4-6所示，无限大板中的一点作用有集中力P，试用复势求解板中的应力和位移。解：设，而据第一应力组合。现集中力P作用在坐标原点O，而原点O是复势的孤立奇点，应将原点挖去一个小圆域而形成多连通域。则复势应为。其中外力。而现在为平面应力状态，为材料的泊松比。故复势 （a）将和代入(a)式得 （b）（1）求应力分量在极坐标中，。其中A，B由(b)式确定，且。（2）求位移分量位移的复势表示为其中A，B由(b)式确定，。习题7、如图4-7所示，半径为a的圆板，在其两侧相对着的等长弧段上作用着压应力p，试求板中的应力。解：这是轴对称问题，宜采用极坐标表示。设复应力函数（或复势）为，则 （a）图4-7而应力边界条件为 （b）现在 ，将展开成三角级数形式得，其中即当m为奇数时，当m为偶数时，。故 （c）即，其它在单连通域中，现在孔边载荷的合力，复势和为单值函数，有。将展开成级数得 （d）令，将(c),(d)两式代入(b)式得两边对应的项的系数相等得正幂：m=0时,m=1时, 自然成立。m=2时,的偶数时, 的奇数时，负幂：时 综上得：，； 故 令，并将上述三式代入(a)式，分离实部和虚部得图4-8习题8、试求如图所示无穷大板承受纯剪切载荷时椭圆孔边的应力。解：采用复变函数保角变换方法求解此平面应力问题。（一）、选择变换函数选择将椭圆孔外域映射成单位圆内域的变换函数：其中，在单位圆周上有，于是 ， ， ， （二）、计算几何项：，。而（三）、计算边界载荷及由于孔边界不受外力，故，则，式中A0和B0与无穷远处的应力状态有关。现无穷远处为纯剪应力状态，。得，于是，其中函数在外域解析，其积分为，故（四）、计算复势（五）、返回Z平面（物理平面）由应力边界条件椭圆边界上的；当时，椭圆孔边的，习题9、如图4-9所示，在无穷远处承受均匀拉应力S作用的无限大板，其中间有一椭圆孔，试用曲线坐标（椭圆坐标）求椭圆孔边的应力分布。图4-9解：采用由所导出的椭圆坐标，较容易得出椭圆孔的边界条件，使该问题的求解过程变得较简单。设域内一点以直角坐标表示为：，对应的椭圆坐标为：。则，所以 （a）当为常数时，(a)式表示相应的椭圆参数方程。令表示直角坐标系中的椭圆孔，则应有 （b）由(b)式可定出和C。当时，即表示无限大的椭圆。对题中的问题选取复势： （c）式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。当时，即；当时（即在椭圆孔的边界上），。由可得：，于是 （d）当时，而当时，。所以，。由由(c)和(d)式可求得，当时，因此有。于是，即。这样就满足了无穷远处的边界条件，即 。只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足椭圆孔处的边界条件，问题就得到解决。由 得，注意到，可求得，在椭圆孔上，。因此有。若取，则当时有，这样便满足了椭圆孔处的边界条件。因此，本问题的复势被确定为。还需检验由此复势得到的位移是否满足位移单值条件。由位移的复势表达式上式中的K在平面应力状态下。上式中的双曲函数均是以为周期的函数，因此当绕的任一椭圆一周后，位移u，v将恢复为起始位移值，这就保证了位移的单值性。椭圆孔边的应力可由求得；当时，因此。其最大值在长轴的端点，即处，其最大应力值为由(b)式可求出和C：代入上式得当椭圆逐渐变得扁长时，应力也逐渐增大。而当a=b时，即对应于圆孔情况，。习题10、如图所示，由双曲线ABC和DEF构成边界的板受到沿y轴方向的拉力作用，并在EOB截面上的拉应力之合力为有限值。试利用曲线坐标（椭圆坐标）求解边界上的应力。解：采用由所导出的椭圆坐标，设域内一点以直角坐标表示为：，对应的椭圆坐标为：。则，所以图4-10 （a）当为常数时，(a)式表示相应的双曲线参数方程。令表示直角坐标系中的双曲线AB段。则应有 （b）同理，令表示直角坐标系中的双曲线BC段，令表示直角坐标系中的双曲线EF段，令表示直角坐标系中的双曲线DE段。只要研究双曲线的AB段，其它各段完全类似。现在研究双曲线的AB段的应力状态。 由(b)式可定出和C。对题中的问题选取复势： （c）式中A，B均为待定的复常数，下面验证复势可满足应力和位移边界条件，并确定复常数A，B。当时，即；当时（即在双曲线的边界上），。由可得：，于是 （d）当时，而当，时，；所以，。由(c)和(d)式可求得，只要再适当选取常数B，使由复势确定的应力满足双曲线边界条件，问题就得到解决。由得，注意到，可求得，在双曲线边界上，。因此有。若取，则当时有，这样便满足了双曲线边界条件。因此，本问题的复势被确定为。双曲线边界应力可由求得；当时，因此。由(b)式可求出和C：代入上式得习题11、设有一个等厚度圆盘，其半径为，密度为。现以均匀角速度绕其回转轴线z轴回转，试求圆盘中各点的应力和位移（不计圆盘本身重力）。解：圆盘以均匀角速度绕其回转轴线z轴回转，则圆盘的任意一点都有向心加速度，其大小为，因此圆盘的每单位体积上受到的离心力为。故该圆盘可认为在体力作用下处于平衡状态。由于这是轴对称物体受轴对称体力作用，所以应力分布是轴对称的。即应力分量及都只是r的函数，而。于是平衡微分方程为 （a）对（a）式乘以r，组合后得。引入应力函数，并令 （b）由于圆盘只受到回转轴的约束，因此它的位移为轴对称的，即其径向位移为，而切向位移为（这里不计刚体位移）。于是 （c）由（c）中的前两式消去，得变形协调方程为。将代入物理方程，并利用（b）式得到以应力函数表示的变形协调方程为 或 （d）解（d）式所表示的微分方程得，上式中A，B为待定的积分常数。将其代入（b）式得应力分量 （e）在圆盘中心（r=0）处的应力不可能无限大，所以B=0。又由边界条件得。将A，B代入（e）得应力分量的表达式 （f）最大应力在圆盘的中心处：。径向位移为可由(c)中的第二式及(f)式求得。 （g）在圆盘中心（r=0）处，；发生最大位移在圆盘的边缘（r=a）处：图4-11rr习题12、如图4-11所示的楔形体，其顶角为，下端为无限长，在楔顶受有集中力作用，集中力与楔形体的中心线成角，设单位宽度上受的力为P，试求楔形体内各点的应力（不计体力）。解： 楔形体内任意一点的应力分量决定于，因而各应力分量表达式中只包含这几个参量。但，应力分量的量纲为力长度-2，P的量纲为力长度-1，而无量纲。因次应力分量表达式只可能是的形式，其中N是组成的无量纲的数量，而应力函数中的r的幂次比应力分量表达式中r的幂次高两次。因此，应力函数是的某一函数乘以r的一次幂，即 （a）将(a)式代入以应力函数表示的协调方程得，求解这个常微分方程得，上式中A、B、C、D为积分常数。代入（a）式得。由于式中前两项不影响应力大小，可以忽略。因此，从而有 （b）由（b）中后两式能满足楔形体左右两面的应力边界条件，在楔形体上任取一个截面，如圆柱面ab，该截面上的应力合力必然与楔顶上的P平衡，于是将（b）中的第一式代入上式得积分后得 ，由此得代入（b）式得应力分量的解 （c）习题13、已知如图4-12所示的半平面体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试求位移及应力分量，并求水平边界面上任意一点的沉陷（不计体力）。图4-12解：将第12题中的楔形体的顶角扩张为一个平角，就得到本题的半平面体。在半平面体的界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用等价于第12题中的。故在第12题（c）式中命就得到本题的应力分量计算公式 （a）利用坐标变换公式得到直角坐标系中的应力分量，再将极坐标改为直角坐标得。下面求位移，先假定为平面应力状态，将（a）式代入物理方程得应变分量再将这些应变分量代入几何方程得解此微分方程组得 （b）其中为积分常数。由于对称有，将（b）式代入此式得，于是（b）式为 （c）为了求边界面上任意一点M向下的铅直位移，即所谓沉陷，可应用（c）式中的第二式，位移是以沿的正方向时为正。因此M点的沉陷为。因为常数I取决于铅直方向的刚体位移，而现在铅直方向不受限制，所以I和M点的沉陷不能确定。只能求得相对沉陷，在边界面上取定一基点B,，它离载荷作用点的距离为s。边界面上任意一点M相对于基点B的沉陷为M点的沉陷减去B点的沉陷，即为简化后得 。对于平面应变情况，将以上应变和位移公式中的E换为、即可。图4-13习题14、如图4-13所示的楔形体，其顶角为，下端为无限长，在楔形体的一面受均布压力q作用，试求楔形体内各点的应力（不计体力）。解：楔形体内任意一点的各应力分量决定于。根据量纲分析取应力函数为 （a）将上式代入以应力函数表示的协调方程 得，求解这个常微分方程得，上式中A、B、C、D为积分常数。代入（a）式得。 （b）从而有 （c）边界条件要求。将（c）式代入四个边界条件，得