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乘法公式008 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础 因式分解是代数变形的重要工具在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高 因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一 例题求解 【例1】若，则的值为 (全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用 代数式求值的常用方法是： (1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值 【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则的值( ) A恒正 B恒负C可正可负D非负 (大原市竞赛题) 思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束 【例3】计算下列各题： （1）； （2） 思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律 【例4】已知 n是正整数，且n416n2+100是质数，求n的值 ( “希望杯邀请赛试题) 思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路 【例5】(1)求方程的整数解； (上海市竞赛题) (2)设x、y为正整数，且，求的值 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口链接 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： (1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等； (2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等； (3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构不定方程(组)的基本解法有： (1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识学力训练 1已知x+y3，那么的值为 2方程的整数解是 ( “希望杯”邀请赛试题) 3已知a、b、c、d为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d 4对一切大于2的正整数n，数n5一5n3+4n的量大公约数是 (四川省竞赛题)5已知7241可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( ) A41，48 B45，47 C43，48 D4l，47 6，已知2x23xy+y20(xy0)，则的值是( ) A 2， B2 C D2，7a、b、c是正整数，ab，且a2-ac+bc=7，则ac等于( ) A一2 B一1 C0 D 2 (江苏省竞赛题) 8如果，那么的值等于( ) A1999 B2001 C2003 D2005 （武汉市选拔赛试题）9(1)求证：8l7一279913能被45整除； (2)证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差； （3）计算：10若a是自然数，则a43a+9是质数还是合数?给出你的证明(“五城市”联赛题) 11已知a、b、c满足a+b5，c2ab+b9，则c (江苏省竞赛题)12已知正数a、b、c满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，则(a+1)(b+1)(c+1)= (北京市竞赛题)13整数a、b满足6ab9al0b+303，则a+b= (“祖冲之杯”邀请赛试题)14已知，且，则的值等于 ( “希望杯”邀请赛试题)15设abcd，如果x=(ab)(cd)，y=(a+c)(b+d)，z(a+d)(b+c)，那么x、y、z的大小关系为( ) Axyz B yzx Cz xb，且，a、b 为自然数，求a、b的值21已知a、b、c是ABC的三边长，且满足，试求ABC的面积22某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件如果获利润最大的产晶是第k档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k的值 (山东省竞赛题)第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2根据待求式的特点，模仿套用公式； 3对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 (江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律一公式 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法 乘法公式常用的变形有： (1)， (2)； (3) ； （4），【例2】 若x是不为0的有理数，已知，则M与N的大小是（ ）AMN B M0，bo)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由 (河北省竞赛题) 思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)； 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题 (2)应用于代数式的最值问题 代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量 【例5】 已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数 证明：(1)b与c两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数思路点拨 从的变形入手；，运用质数、奇偶数性质证明学力训练1观察下列各式： (x一1)(x+1)x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1 根据前面的规律可得(x一1)(x n+x n-1+x+1)= (武汉市中考题)2已知，则= (杭州市中考题)3计算： (1)1.23452+0.76552+2.4690.7655： ； (2)19492一19502+19512一19522+19972一19982+19992 = ； (3) 4如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 (大原市中考题)5已知，则= (菏泽市中考题)6已知，则代数式的值为( ) A一15 B一2 C一6 D6 (扬州市中考题)7乘积等于( )A B C D (重庆市竞赛题)8若，则的值是( ) A4 B20022 C 22002 D420029若，则的个位数字是( ) A1 B3 C 5 D710如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(ab)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A BC D (陕西省中考题)11(1)设x+2z3z，试判断x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否则请说明理由 (2)已知x2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1) (上海市中考题)12一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数13观察： (1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； (2)根据(1)，计算2000200120022003+1的结果(用一个最简式子表示) (黄冈市竞赛题)14你能很快算出19952吗? 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n3这些简单情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论(1)通过计算，探索规律 152225可写成1001(1+1)+25；252=625可写成1002(2+1)+25；352=1225可写成100 3(3+1)+25；4522025可写成1004(4+1)+25；7525625可写成 ；8527225可写成 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= (3)根据上面的归纳猜想，请算出19952 (福建省三明市中者题)15已知，则= (天津市选拔赛试题)16(1)若x+y10，x3+y3=100，则x2+y2 (2)若a-b=3，则a3-b3-9ab 171，2，3，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 (全国初中数学联赛试题)18已知a-b=4，ab+c2+4=0，则a+b=( ) A4 B0 C2 D 一219方程x2-y2=1991，共有( )组整数解 A6 B7 C8 D920已知a、b满足等式，则x、y的大小关系是( ) Axy Bxy Cxy (大原市竞赛题)21已知a=1999x+2000，b1999x+2001，c1999x+2002，则多项式a2+b2+c2一abbc-ac的值为( ) A0 B1 C2 D3 (全国初中数学竞赛题)22设a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值 (西安市竞赛题)23已知a满足等式a2-a-1=0，求代数式的值 (河北省竞赛题)24若，且，求证： (北京市竞赛题)25有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl，y1顺次表示第一号选手胜与负的场数；用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数；用x10、y10顺次表示十号选手胜与负的场数 求证：26（1）请观察： 写出表示一般规律的等式，并加以证明 (2)2652+12，53=72+22，2653=1378，1378=372+32 任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗? 注：有人称这样的数“不变心的数”数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘 瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和即(a2+b2+c2十d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2这就是著名的欧拉恒等式 参考答案第十七讲 整式的乘法与除法 指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：，学习指数运算律应注意： 1运算律成立的条件； 2运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式； 3运算律的正向运用、逆向运用、综合运用 多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止例题 【例1】 (1)如果，则 ( “希望杯”邀请赛试题) (2)把(x2一x+1)6展开后得，则 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)把高次项用低次多项式表示；(2)我们很难将(x2一x+1)6的展开式写出，因此想通过展开式去求出每一个系数是不实际的，事实上，上列等式在x的允许值范围内取任何一个值代入计算，等式都成立，考虑用赋值法解 注： 一般地，被除式、除式、商式和余式之间有下面的关系式： 被除式除式商式+余式 特别地，当余式为零时，称除式能整除被除式在解数学题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，再进行运算、推理解题的方法叫赋值法，用赋值法解题有两种类型： (1)常规数学问题中，恰当地对字母取值，简化解题过程；(2)非常规数学问题通过赋值，把问题“数学化” 【例2】 已知，则等于( ) A2 B1 C D ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 因为指数，我们目前无法求出的值，其实只需求出的值或它们的关系，自然想到指数运算律 【例3】 设都是自然数，且，求d一b的值 (上海市普陀区竞赛题) 思路点拨 设，这样可用m的式子表示可用n的式子表示，减少字母的个数，降低问题的难度 【例4】求A、B的值 思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解 【例5】 是否存在常数p、q使得能被整除?如果存在，求出p、q的值，否则请说明理由 思路点拔 由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式商式”，运用待定系数法求出p、q的值，所谓p、q是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解 注 运用指数运算率解题，应注意以下几点： (1)善于变异底为同底； (2)适当地对已知等式进行运算处理，从整体上解决问题 所谓恒等式，就是指不论用任意数值来代替式中的字母左右两边的值都相等的等式 如果两个多项式恒等，那么，这两个多项式的对应项系数一定对应相等 待定系数法是数学中的一种重要方法，在有关整式的恒等变形的解题中经常用到，运用此方法解题的一般步骤是： (1)根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中有几个待定系数； (2)比较对应项的系数，列出方程组；(3)解方程组，求出待定系数的值学力训练1如图，是某住宅的平面结构示意图，图中标注了有关尺寸(墙体厚度忽略不计，单位：米)房的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a元米2，则买砖至少需要 元(用含a、x、y的代数式表示)(河北省中考题)2若2x+5y3=0，则4x32y (绍兴市竞赛题)3满足(x1)2003200的x的最小正整数为 (2003年武汉市选拔赛试题)4都是正数，且，则中，最大的一个是 (“英才杯”竞赛题)5化简得（ ） A B C D (年IT杯全国初中数学竞赛题)6已知，那么从小到大的顺序是( )Aabcd Babdc C bacd Dadbbcd Babdc C bacd Dadbc(北京市“迎春杯”竞赛题)17已知均为正数，又M，N，则M与N的大小关系是( )AM=N BMN D关系不确定18若，则的值等于( ) A1997 B1999 C2001 D2003 (北京市竞赛题)19已知关于x的整系数二次三项式ax2十bx+c当x取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l，5，25，50经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )A当x=1时，ax2十bx+c=1 B当x3时，ax2十bx+c=5C当x=6时，ax2十bx+c=25 D当x8时，ax2十bx+c=5020已知3x2-x-1=0，求6x3十7x2一5x+1999的值21已知a是方程的一个根，试求代数式的值22已知，求证：(a一1)(d1)=(b一1)(c一1)23是否存在整数满足？若存在，求出的值；若不存在，说明理由24当自然数n的个位数分别为0，1，2，9时，n2，n3，n 4，n 5的个位数如表所示n的个位数0123456789n2的个位数0149656941n3的个位数0187456329n4的个位数0161656l61n5的个位数0l23456789 (1)从所列的表中你能发现什么规律? (2)若n为自然数，和数1981n+1982 n+1983 n+1984 n不能被10整除，那么n必须满足什么条件?参考答案第三讲 因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础 因式分解是代数变形的重要工具在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高 因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一 例题求解 【例1】若，则的值为 (全国初中数学联赛题)思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于的二次三项式注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用 代数式求值的常用方法是： (1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值 【例2】已知 a、b、c是一个三角形的三边，则的值( ) A恒正 B恒负C可正可负D非负 (大原市竞赛题) 思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束 【例3】计算下列各题： （1）； （2） 思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律 【例4】已知 n是正整数，且n416n2+100是质数，求n的值 ( “希望杯邀请赛试题) 思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路 【例5】(1)求方程的整数解； (上海市竞赛题) (2)设x、y为正整数，且，求的值 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口链接 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： (1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等