福建省厦门市思明区外国语学校高考数学适应性试卷 理（含解析）.doc

2015年福建省厦门市思明区外国语学校高考数学适应性试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）aibic1d12sin570的值是（）abcd3给出以下四个说法：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；线性回归直线一定经过样本中心点，；设随机变量服从正态分布n（1，32）则p（1）=；对分类变量x与y它们的随机变量k2的观测值k越大，则判断“与x与y有关系”的把握程度越小其中正确的说法的个数是（）a1b2c3d44已知点m（6，5）在双曲线c：=1（a0，b0）上，双曲线c的焦距为12，则它的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=x5执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（）a（11，12）b（12，13）c（13，14）d（13，12）6若函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（）abcd7若f（x）=sin（2x+），则“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件8已知偶函数f（x）满足当x0时，3f（x）2f（）=，则f（2）等于（）abcd9如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置c对隧道底ab的张角最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置c到ab的距离是（）a2mb2mc4 md6 m10若f（x）为定义在区间g上的任意两点x1，x2和任意实数（0，1），总有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）f（x）=，f（x）=，f（x）=，f（x）=a4b3c2d1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11在各项为正数的等比数列an中，若a6=a5+2a4，则公比q=12如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是13已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a=14直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于a，b两点（其中a，b是实数），且aob是直角三角形（o是坐标原点），则点p（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为15一质点从正四面体abcd的顶点a出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动第1次运动经过棱ab由a到b，第2次运动经过棱bc由b到c，第3次运动经过棱ca由c到a，第4次经过棱ad由a到d，对于nn*，第3n次运动回到点a，第3n+1次运动经过的棱与3n1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为x，求x的分布列和数学期望17已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为4的正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，e、f、g分别是pa、pb、bc的中点（i）求证：ef平面pad；（ii）求平面efg与平面abcd所成锐二面角的大小18已知椭圆，过其右焦点f且垂直于x轴的弦mn的长度为b（）求该椭圆的离心率；（）已知点a的坐标为（0，b），椭圆上存在点p，q，使得圆x2+y2=4内切于apq，求该椭圆的方程19如图，摩天轮的半径oa为50m，它的最低点a距地面的高度忽略不计地面上有一长度为240m的景观带mn，它与摩天轮在同一竖直平面内，且am=60m点p从最低点a处按逆时针方向转动到最高点b处，记aop=，（0，）（1）当= 时，求点p距地面的高度pq；（2）试确定 的值，使得mpn取得最大值20已知函数f（x）=ax3+2xa，（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若a=n且nn*，设xn是函数fn（x）=nx3+2xn的零点（i）证明：n2时存在唯一xn且；（i i）若bn=（1xn）（1xn+1），记sn=b1+b2+bn，证明：sn121、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分选修4-2：矩阵与变换21已知二阶矩阵m有特征值1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值2=1及属于特征值1的一个特征向量=， =（）求矩阵m；（）求m5选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分7分）22在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c1的极坐标方程为（sin+cos）=1，曲线c2的参数方程为（为参数）（）求曲线c1的直角坐标方程与曲线c2的普通方程；（）试判断曲线c1与c2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）23（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x1|，不等式f（x）4的解集为m（1）求m；（2）当a，bm时，证明：2|a+b|4+ab|2015年福建省厦门市思明区外国语学校高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足：zi=1+i（i是虚数单位），则z的虚部为（）aibic1d1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由zi=1+i，得，z的虚部为1故选：d【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2sin570的值是（）abcd【考点】运用诱导公式化简求值【专题】计算题【分析】原式角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值【解答】解：原式=sin（720150）=sin150=故选b【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键3给出以下四个说法：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；线性回归直线一定经过样本中心点，；设随机变量服从正态分布n（1，32）则p（1）=；对分类变量x与y它们的随机变量k2的观测值k越大，则判断“与x与y有关系”的把握程度越小其中正确的说法的个数是（）a1b2c3d4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】综合题；概率与统计【分析】由绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，即可判断；线性回归直线一定经过样本中心点（，）；设随机变量服从正态分布n（1，32），利用对称性可得结论；对分类变量x与y，它们的随机变量k2的观测值k来说，k越大，“x与y有关系”的把握程度越大，可得结论【解答】解：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故错；线性回归直线一定经过样本中心点（，），故正确；设随机变量服从正态分布n（1，32）则p（1）=，正确；对分类变量x与y，它们的随机变量k2的观测值k来说，k越大，“x与y有关系”的把握程度越大，故不正确故选：b【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量x，y的关系，属于基础题4已知点m（6，5）在双曲线c：=1（a0，b0）上，双曲线c的焦距为12，则它的渐近线方程为（）ay=xby=xcy=xdy=x【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过点m（6，5）在双曲线c：=1（a0，b0）上及双曲线c的焦距为12，可得、a2+b2=36，计算即得结论【解答】解：点m（6，5）在双曲线c：=1（a0，b0）上，又双曲线c的焦距为12，12=2，即a2+b2=36，联立、，可得a2=16，b2=20，渐近线方程为：y=x=x，故选：a【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题5执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（）a（11，12）b（12，13）c（13，14）d（13，12）【考点】循环结构【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出数对（x，y），模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，当n=4时，不满足进行循环的条件，故输出的数对为（11，12），故选：a【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答6若函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（）abcd【考点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质【专题】数形结合【分析】由函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，a1，由此不难判断函数的图象【解答】解：函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是奇函数则f（x）+f（x）=0即（k1）（axax）=0则k=1又函数f（x）=kaxax，（a0，a1）在（，+）上是增函数则a1则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选c【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（x）f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数减函数=增函数也是解决本题的关键7若f（x）=sin（2x+），则“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若f（x）的图象关于x=对称，则2+=+k，解得=+k，kz，此时=不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的必要不充分条件，故选：b【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键8已知偶函数f（x）满足当x0时，3f（x）2f（）=，则f（2）等于（）abcd【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】先利用方程组法，求出当x0时，函数f（x）的解析式，进而再根据偶函数的性质得到f（2）=f（2）的值【解答】解：当x0时，3f（x）2f（）=，3f（）2f（x）=，3+2得：5f（x）=，故f（x）=，又函数f（x）为偶函数，故f（2）=f（2）=，故选：d【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键9如图，一隧道截面由一个长方形和抛物线构成现欲在随道抛物线拱顶上安装交通信息采集装置若位置c对隧道底ab的张角最大时采集效果最好，则采集效果最好时位置c到ab的距离是（）a2mb2mc4 md6 m【考点】抛物线的应用；两点间的距离公式【专题】应用题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，设c（x，y）（y6），由a（3，6），b（3，6），可得kca=，kcb=，求出tanbca，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：建立如图所示的坐标系，设抛物线方程为x2=2py（p0），将点（4，4）代入，可得p=2，所以抛物线方程为x2=4y，设c（x，y）（y6），则由a（4，6），b（4，6），可得kca=，kcb=，tanbca=，令t=y+6（t0），则tanbca=t=2时，位置c对隧道底ab的张角最大，故选：a【点评】本题考查抛物线的方程与应用，考查基本不等式，确定抛物线的方程及tanbca，正确运用基本不等式是关键10若f（x）为定义在区间g上的任意两点x1，x2和任意实数（0，1），总有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（）f（x）=，f（x）=，f（x）=，f（x）=a4b3c2d1【考点】函数恒成立问题【专题】新定义；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由新定义可得函数在区间g上即为严格下凸函数，求f（x0恒成立即可判断【解答】解：由区间g上的任意两点x1，x2和任意实数（0，1），总有f（x1+（1）x2）f（x1）+（1）f（x2），等价为对任意xg，有f（x）0成立（f（x）是函数f（x）导函数的导函数），f（x）=的导数f（x）=，f（x）=，故在（2，3）上大于0恒成立，故为“上进”函数；f（x）=的导数f（x）=，f（x）=0恒成立，故不为“上进”函数；f（x）=的导数f（x）=，f（x）=0恒成立，故不为“上进”函数；f（x）=的导数f（x）=，f（x）=，当x（2，3）时，f（x）0恒成立故为“上进”函数故选c【点评】本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分11在各项为正数的等比数列an中，若a6=a5+2a4，则公比q=2【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4，列出关于q的方程，由各项为正数求出q的值【解答】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，即q2q2=0，解得q=2或q=1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题12如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是甲【考点】茎叶图【专题】计算题；概率与统计【分析】【解法一】计算甲、乙的平均数与方差，比较即得结论；【解法二】根据茎叶图中的数据，利用方差的意义，也可得出正确的结论【解答】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，方差是= （8790）2+（8990）2+（9090）2+（9190）2+（9390）2=4；乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，方差是= （7890）2+（8890）2+（8990）2+（9690）2+（9990）2=53.2；，成绩较为稳定的是甲【解法二】根据茎叶图中的数据知，甲的5个数据分布在8793之间，分布相对集中些，方差小些；乙的5个数据分布在7899之间，分布相对分散些，方差大些；所以甲的成绩相对稳定些故答案为：甲【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目13已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a=【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【专题】计算题【分析】分别计算出（ax+1）5的展开式中x2的系数和的展开式中x3的系数，利用它们相等，建立方程关系，进行求解即可【解答】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，10a2=5，即a2=，解得a=故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键14直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于a，b两点（其中a，b是实数），且aob是直角三角形（o是坐标原点），则点p（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论【解答】解：aob是直角三角形（o是坐标原点），圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d=，整理得a2+2b2=2，则点p（a，b）与点q（1，0）之间距离d=，点p（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力15一质点从正四面体abcd的顶点a出发沿正四面体的棱运动，每经过一条棱称为一次运动第1次运动经过棱ab由a到b，第2次运动经过棱bc由b到c，第3次运动经过棱ca由c到a，第4次经过棱ad由a到d，对于nn*，第3n次运动回到点a，第3n+1次运动经过的棱与3n1次运动经过的棱异面，第3n+2次运动经过的棱与第3n次运动经过的棱异面按此运动规律，质点经过2015次运动到达的点为d【考点】进行简单的合情推理【专题】函数的性质及应用；推理和证明【分析】本题根据题意，得到质点运动的规律，得到周期性运动的结论，再利用周期性，得到本题结论【解答】解：根据题意，质点运动的轨迹为：abcadbacda接着是bcadbacda周期为9质点经过2015次运动，2015=2239+8，质点到达点d故答案为：d【点评】本题考查了函数的周期性，本题难度不大，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为x，求x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】计算题【分析】（1）设事件a为“两手所取的球不同色”，由此能求出p（a）=1（2）依题意，x的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=分别求出p（x=0），p（x=1），p（x=2），由此能求出x的分布列和ex【解答】解：（1）设事件a为“两手所取的球不同色”，则p（a）=1（2）依题意，x的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=p（x=0）=（1）（1）=；p（x=1）=；p（x=2）=x的分布列为：x 0 1 2pex=0+1+2=【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用17已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为4的正方形，pad是正三角形，平面pad平面abcd，e、f、g分别是pa、pb、bc的中点（i）求证：ef平面pad；（ii）求平面efg与平面abcd所成锐二面角的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题【分析】（i）先根据平面pad平面abcd，abad得到ab平面pad；再结合efab，即可得到ef平面pad；（ii）过p作ad的垂线，垂足为o，根据平面pad平面abcd，得po平面abcd；再取ao中点m，连og得到og即为面efg与面abcd的交线；最后根据em平面abcd且ogao，得到的ogeo求出eom 即可【解答】解：（i）证明：平面pad平面abcd，abad，ab平面pad，e、f为pa、pb的中点，efab，ef平面pad； （ii）解：过p作ad的垂线，垂足为o，平面pad平面abcd，则po平面abcd取ao中点m，连og，eo，em，efabog，og即为面efg与面abcd的交线又emop，则em平面abcd且ogao，故ogeoeom 即为所求 在rteom中，em=om=1taneom=，故eom=60平面efg与平面abcd所成锐二面角的大小是60【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角18已知椭圆，过其右焦点f且垂直于x轴的弦mn的长度为b（）求该椭圆的离心率；（）已知点a的坐标为（0，b），椭圆上存在点p，q，使得圆x2+y2=4内切于apq，求该椭圆的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）设出m、n的坐标，因为横坐标相同，所以mn的弦长为|y1y2|，把m、n的坐标代入椭圆方程，求出a与b的关系，从而得到离心率（）设出过点a的直线方程，根据圆心到直线的距离为半径，求出k，发现切线ap、aq关于y轴对称，p、q点纵坐标为2，代入椭圆方程求出x，再用两点坐标表示出k，构造等式，求出b与a【解答】解：（）设f（c，0），m（c，y1），n（c，y2），则，得y1=，y2=，mn=|y1y2|=b，得a=2b，椭圆的离心率为： =（）由条件，直线ap、aq斜率必然存在，设过点a且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kxy+b=0，由于圆x2+y2=4内切于apq，所以r=2=，得k=（b2），即切线ap、aq关于y轴对称，则直线pq平行于x轴，yq=yp=2，不妨设点q在y轴左侧，可得xq=xp=2，则=，解得b=3，则a=6，椭圆方程为：【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质19如图，摩天轮的半径oa为50m，它的最低点a距地面的高度忽略不计地面上有一长度为240m的景观带mn，它与摩天轮在同一竖直平面内，且am=60m点p从最低点a处按逆时针方向转动到最高点b处，记aop=，（0，）（1）当= 时，求点p距地面的高度pq；（2）试确定 的值，使得mpn取得最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】导数的综合应用；三角函数的求值；解三角形【分析】（1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；（2）借助于角，把mpn表示出来，然后利用导数研究该函数的最值【解答】解：（1）由题意得pq=5050cos，从而当时，pq=5050cos=75即点p距地面的高度为75米（2）由题意得，aq=50sin，从而mq=6050sin，nq=30050sin又pq=5050cos，所以tan，tan从而tanmpn=tan（npqmpq）=令g（）=（0，）则，（0，）由g（）=0，得sin+cos1=0，解得当时，g（）0，g（）为增函数；当x时，g（）0，g（）为减函数所以当=时，g（）有极大值，也是最大值因为所以从而当g（）=tanmnp取得最大值时，mpn取得最大值即当时，mpn取得最大值【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值20已知函数f（x）=ax3+2xa，（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若a=n且nn*，设xn是函数fn（x）=nx3+2xn的零点（i）证明：n2时存在唯一xn且；（i i）若bn=（1xn）（1xn+1），记sn=b1+b2+bn，证明：sn1【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（）对f（x）求导得到单调区间（）（i）由（）得，fn（x）=nx3+2xn在r上单调递增，证明fn（）=即可（ii）利用数列裂项求和和不等式放缩技巧证明即可【解答】解：（）f（x）=3ax2+2，若a0，则f（x）0，函数f（x）在r上单调递增；若a0，令f（x）0，或，函数f（x）的单调递增区间为和；（）（i）由（）得，fn（x）=nx3+2xn在r上单调递增，又fn（1）=n+2n=20，fn（）=当n2时，g（n）=n2n10，n2时存在唯一xn且（i i）当n2时，（零点的区间判定），（数列裂项求和），又f1（x）=x3+2x1，（函数法定界），又，（不等式放缩技巧）命题得证【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分7分，如果多做，则按所做的前两题计分选修4-2：矩阵与变换21已知二阶矩阵m有特征值1=4及属于特征值4的一个特征向量=并有特征值2=1及属于特征值1的一个特征向量=， =