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本章整合 一 勾股定理的实际应用 例1 为迎接贵宾的到来 光誉宾馆要将楼梯的一段铺上地毯 如图所示 已知楼梯高bc 3米 楼梯的最低点a与最高点b的距离为5米 请你计算一下至少需要多长的地毯 即ac2 32 52 所以ac 4 所以至少需要地毯的长为ac bc 4 3 7 米 点拨 本题是一道生活中的实际问题 解决此问题的关键是从实际问题中构建数学模型 直角三角形 借助勾股定理求出ac的长 解 在rt abc中 因为bc 3 ab 5 由勾股定理 得ac2 bc2 ab2 1 在公路ab旁有一座山 现有一c处需要爆破 已知点c与公路上的停靠站a距离为300米 与公路上另一停靠站b的距离为400米 且ca cb 为了安全起见 爆破点c周围半径250米范围内不得进入 几何图形如图所示 问在进行爆破时 公路ab段是否因有危险而需要暂时封锁 跟踪训练genzongxunlian 解 作cd ab于d 因为bc 400米 ac 300米 acb 90 根据勾股定理 得ac2 bc2 ab2 即3002 4002 ab2 所以ab 500米 根据三角形的面积得ab cd bc ac 所以500cd 400 300 所以cd 240 米 因为240 250 即点c到ab的距离小于250米 所以有危险 公路ab段需要暂时封锁 二 勾股定理中的方程思想 例2 如图所示 将一个长方形纸片abcd沿对角线ac折叠 点b落在e点 ae交dc于f点 已知ab 8cm bc 4cm 求折叠后重合部分的面积 高 因此要求重合部分的面积 只要求出cf的长即可 由图形的性质可知cf af 这样设df x后 便可表示出cf af的长 从而在rt adf中便可利用勾股定理得出关于x的方程 求解即可 解 aec是由 abc折叠得到的 1 2 又 cd ab 2 3 1 3 af cf 设df x 则af cf cd df 8 x 分析 由图形可知 重合部分是 acf ad正好是它的一条边cf上的 所以cf 8 x 5 所以折叠后重合部分的面积为s cf ad 5 4 10 cm2 点拨 根据勾股定理可将几何问题转化为代数问题 即利用列方程的方法来解决 在rt adf中 由勾股定理得af2 ad2 df2 即 8 x 2 42 x2 解得x 3 即df 3 跟踪训练genzongxunlian 2 如图 折叠矩形的一边ad 使点d落在bc边的点f处 已知ab 8cm bc 10cm 求ec的长 解 因为d f关于ae对称 所以 afe ade 即af ad bc 10cm de ef 设ec xcm 则de 8 x cm 所以在rt abf中 由勾股定理得bf2 af2 ab2 36 bf 6cm
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