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线性矩阵不等式处理方法 Robustcontrol LMIMethod 主要内容 线性矩阵不等式概论系统性能分析控制器设计 线性矩阵不等式概论 线性矩阵不等式的一般表示 线性矩阵不等式 仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数 一般形式为f x Ax b 这里 A是一个m k矩阵 x是一个k向量 b是一个m向量 实际上反映了一种从k维到m维的空间映射关系 设f是一个矢性 值 函数 若它可以表示为其中可以是标量 也可以是矩阵 则称f是仿射函数 凸 约束 问题 定义 凸集 一个集合 的连线仍在集合内 和 及参数 有 称为 的凸组合 称为凸的 如果集合中任意两点 即任意给定两点 和 将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中 关于凸集定义的理解 Schur补定理 引理 SchurComplement 对于分块对称阵 其中 b 且 c 且 a 为方阵 则以下三个条件是等价的 Schur补应用 若要证明存在对称矩阵P 0 Q 0 R 0 使得如下不等式成立 只需证明如下线性矩阵不等式 LMI 成立 Schur补 是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具 标准的线性矩阵不等式问题 可行性问题 LMIP 求不等式的可行解检验是否存在x 使得成立 特征值问题 EVP 求不等式的优化解广义特征值问题 GEVP 仿射矩阵函数的不等式优化问题 LinearMatrixInequality LMI 系统性能分析 连续时间系统 3 1 1系统增益指标考虑 L2范数 对于平方可积的信号 定义其中是向量的欧式范数 这样定义的正好是信号的能量 将所有有限能量的全体记成即也称为信号的范数 L 范数 对幅值有界的信号 定义当是一个标量信号时 等于的峰值 将所有幅值有界的信号全体记成即也称为信号的范数 四个性能指标 IE Impulse to Energy 增益 EP Energy to Peak 增益 EE Energy to Energy 增益 PP Peak to Peak 增益 定理1 IE 若有一最优值 则 定理2 EP 若有一最优值 则 定理3 EE 定理4 PP H2性能 T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量 IE 系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释 EP 对于SISO系统 用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数 H 性能 增益有一个频率域的解释 它恰好等于传递函数的范数 即 用线性矩阵不等式刻画系统的H 范数 定理 针对系统 3 1 1 和给定的一个常数 0 若存在对称矩阵P 0 使得如下线性矩阵不等式成立 则有 T s 且系统渐进稳定 证明 对上述不等式分别左乘 右乘矩阵diag 1 2I 1 2I 1 2I 得 记X P 运用Schur补 可得 若D 0 则有 严格真传递函数阵的H 范数与矩阵不等式的等价关系 给出了系统H 范数与LMI之间的关系使得H 控制问题可基于LMI进行求解 有界实引理 Boundedreallemma 控制器设计 H 控制器设计 状态反馈