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第三章多自由度系统的振动 在工程实际中 有很多问题需要简化为多个自由度系统模型 3 1引言 本章研究内容 多自由度系统建模 2 两自用度系统的自由振动 3 两自用度系统的受迫振动 4 拍 的现象 5 多自由度系统的振动 解偶分析法 3 2多自由度系统振动微分方程建立的方法 1 达朗贝尔原理 在应用上比较简单 但是它对一些比较复杂约束较多的结构也有不便之处 2 拉格朗日方程 Lagrange 设系统具有n个自由度 以n个广义坐标表示系统的位形 系统的势能为V 系统的动能为T Lagrange函数为 拉格朗日方程为 系统的势能只是坐标的函数 有 为对应有势力以外的其它非有势力的广义力 不含阻尼力 对于线性系统我们研究系统在平衡位置附近的微幅振动 取静平衡位置作为坐标的原点 q 0 0 作Taylor级数展开 为势能在平衡位置处的大小 0 0表示 0 在平衡位置处的值 如果势能从平衡位置算起 则有 则有 写成矩阵形式 动能 代入拉格朗日方程 写成矩阵形式 例 解 选用广义坐标 和 对于线性系统运动 运动是微幅的 代入动能和势能 作用于系统的广义力沿x方向为F t 沿方向为 代入Lagrange方程 即柔度矩阵与刚度矩阵互逆 3 刚度法与柔度法建立振动微分方程 为柔度影响系数 表示在系统的j点作用单位力时 在系统的i点产生的位移 由互等定理可知 柔度 指单位外力所引起的系统位移 通过柔度矩阵建立的振动微分方程为 解 3 3两自由度系统的振动 两个自由度系统是多自由度系统中最简单的情况 如果确定一个振动系统的独立参数只有两个 称这一系统为两个自由度系统 如 2 1无阻尼自由振动 选两物块静平衡位置为广义坐标和的起始位置 整理以后得 写成矩阵形式 设其解为 1 各个质点按同一频率振动 2 振动的形式保持不变 二阶齐次常微分方程组 代入上式 设 则有 称为特征方程或频率方程 即 得 从小到大依次为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频率 第一阶的称为基频 振型的求解 将代入到频率方程中是求不出 但可求得振幅比 写成矩阵形式 其通解为 简写 称为系统的第一阶和第二阶主振型 主振型也称为主模态 例一 已知 两层框架结构楼房 k1 k2分别为层间侧向位移刚度 求振型和频率 解 建立两自由度系统的振动微分方程 代入数值 频率方程 得 求振型1 振型2 一阶振型二阶振型 例二 求图示体系的频率 振型 解 令 第一振型 第二振型 对称体系的振
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