中考题中与三角形有关的综合题.doc

中考题中与三角形有关的综合题 八年级上的几何内容包括全等三角形和轴对称这两章内容，对于这两章的学习，很多同学觉得有些吃力，原因是题目灵活性、复杂性都明显增强，尤其是遇到添加辅助线时无从下手，这就需要多做题，并总结基本方法，以及基本图形下面从中考题中有关这两章内容的题目来谈谈如何解决这一类问题经典例题透析类型一：构造法添加辅助线1如图1，已知BD平分ABC，AC=BC，C=90，AEBD于E，判断AE与BD的数量关系并证明. 图 1思路点拨： 题中BD平分ABC，且BDAE，由此可以构造等腰三角形延长AE，与BC延长线交于点O.易证ABEOBE ，可知ABO是等腰三角形，AO=2AE，而可证AOCBDC，知AO=BD，进而知道BD=2AE解析：BD=2AE，证明如下： 延长AE，与BC延长线交于点O，如图2BD平分ABC，2=3.AEBD于E，AEB=OEB=90.在ABE和OBE中，图 2ABEOBE（ASA） AE=OE， AO=2AE.C=90 ACO=BCD=90，1+O=902+O=90， 1=2在AOC和BDC中AOCBDC（ASA）AO=BDBD=2AE.总结升华：这种构造方法是一种常见的添加辅助线的方法2如图3，在ABC中，A=90，AB=AC，D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：ADB=CDF 图 3思路点拨：（1）ADB与CDF这两个角不在任一对全等三角形中，因此直接证很困难，我们可以考虑构造全等三 角形，而且这两个三角形要含有ADB和CDF在CDF中，C=45,因此另一个三角形中必含 有45角过A作AO BC于O，与BD交于点M，易证ABMCAF，AM=CF，接下来只须证 AMDCFD即可（2）我们也可以将角进行转换，由已知AB=AC分析，可过C作CGAC交AF延长线于G，就可以构造 ACGBAD，ADB=G，接下来只需证CDFCGF，得G=CDF即可解析：（法一）过A作AOBC于O，与BD交于点M，如图42+BAE=90，3+BAE=902=31=C=45，AB=AC在ABM和CAF中ABMCAF(ASA) 图 4AM=CFMAD=C=45，AD=CD在AMD和CFD中AMDCFD(SAS)ADB=CDF.（法二）过C作CGAC交AF延长线于G，如图5ACG=BAD=902+1=90，3+1=902=3在ACG和BAD中，ACGBAD（ASA）G=ADB，CG=AD 图 5D为AC中点，AD=CD， CG=CDBAC=90，AB=AC，ACG=90 FCG=DCF=45在CDF和CGF中CDFCGF（SAS）G=CDF ，ADB=CDF.总结升华：当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线，而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一类型二：在变化的图中探究同一类问题这类问题往往是方法的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题3（1）如图6，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图7，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.思路点拨：（1）中的求解方法很多，但考虑到与（2）的联系，就需要有很强的识图能力，而题目中已知的角只有60，因此应该让AEB与之建立联系观察到图中含有“8”字形图，如图8，A+O=E+B，而由已知易证AOCBOD，OAC=OBD，因此AEB=AOB=60解析：（1）在等边三角形OAB和等边三角形OCD中， OC=OD，OA=OB，AOB=COD=60， AOB+BOC=COD+BOC，即AOC=BOD 在AOC和BOD中 图 8 AOCBOD（SAS） OAC=OBD 1=OAC+AOB=OBD+AEB AEB=AOB=60 （2）同（1）可证AEB=AOB=60图 9 总结升华：（1）解决这类问题应该统筹考虑这两问，从而得到最佳解题方案从解题思路可知，记住一些基本图 形很有必要除了“8”字形图之外，还需记住“燕尾形”图，如图9，D=A+B+C（2）本题中OA与OD不相等，结论依然成立，留给同学们字形解决 4（1）如图10，在RtABC中，ACBC，ACB90，M为AB中点，AF=CE，请判断MEF的形状. （2）已知：如图11在RtABC中, AC=BC, C=90，点D为AB上任一点，DFAC于F， DEBC于E，M为BC的中点. 判断MEF是什么形状的三角形并证明你的结论. 当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积是否会改变,并证明你的结论 当点D在BA的延长线上运动时，如图12，中的结论还成立吗？思路点拨：在等腰三角形中，M为底边AB的中点，连结CM是常用的辅助线解析：（1）MEF是等腰直角三角形（2）MEF是等腰直角三角形理由如下： 连结CM，如图13 DFAC于F， DEBC于E，ACB=90 四边形CEDF为长方形，DF=CE 在RtABC中，ABAC，ACB90， M为AB中点， A=1=45，CMAB，AM=BM=CM图 13 在RtADF中，A=45 AF=DF，AF=CE 在AMF和CME中 AMFCME（SAS） MF=ME，2=3 2+CMF=90，3+CMF=90，即EMF=90 MEF是等腰直角三角形 当点D在AB上运动时，四边形FMEC的面积不会改变，证明如下： 由可知，AMFCME，SAMF=SCME SACM=SBCM，SCMF=SBME， S四边形FMEC=SCMF+ SCME=SABC 四边形FMEC的面积不会改变 成立，理由如下：连结CM，如图14 DFAC于F， DEBC于E，ACB=90 四边形CEDF为长方形，DF=CE 在RtABC中，ACBC，ACB90，M为AB中点， BAC=1=45，CMAB，AM=BM=CM MAF=MCE=135 在RtADF中，DAF=BAC=45 AF=DF，AF=CE 在AMF和CME中 AMFCME（SAS） MF=ME，AMF=CME CME+AME=90，AMF+AME=90，即EMF=90 MEF是等腰直角三角形总结升华：对比（2）中的与，都是先证明四边形CEDF是长方形，从而得到AF=CE，接着证AMFCME，得到MF=ME，且EMF=90，可以看出这两问的证明思路大体上是相同的也就是说，在这类问题中，可以通过第一问的解决来推测下面问题的推理方法，从而达到解题的目的举一反三【变式1】已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图15），易证当绕点旋转到时，在图16和图17这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【答案】图16，延长EA到O，使得OA=CF，连结OB，易证ABOCBF，OB=BF，进而证明BEFBEO，即可得到EF=AE+CF图17中，在AE中取一点O，使得OA=CF，连结OB，易证ABOCBF ，OB=BF，进而证明BEFBEO，即可得到EF=AE-CF【变式2】已知：正方形中，绕点顺时针