“点差法”的应用(高考数学专题复习).pdf

圆锥曲线专题 点差法 应用面面观 处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时 常用到 点差法 以设而不求 优化 运算 1 求弦中点的轨迹方程 例 1 已知椭圆 2 2 1 2 x y 求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 解 设弦的两个端点分别为 1122 P x yQ xy PQ的中点为 M x y 则 2 21 1 1 2 x y 1 2 22 2 1 2 x y 2 12 得 22 2212 12 0 2 xx yy 1212 12 12 0 2 xxyy yy xx 又 12 1212 12 2 2 2 yy xxx yyy xx 40 xy 弦中点轨迹在已知椭圆内 所求弦中点的轨迹方程为40 xy 在已知椭圆内 例 2 直线 50l axya a是参数 与抛物线 2 1fyx 的相交弦 是AB 则弦AB的中点轨迹方程是 解 设 1122 A x yB x y AB中点 M x y 则 12 2xxx 150l a xy l 过定点 1 5N 5 1 ABMN y kk x 又 2 11 1yx 1 2 22 1yx 2 12 得 22 12121212 112yyxxxxxx 12 12 12 2 AB yy kxx xx 于是 5 22 1 y x x 即 2 27yx 弦中点轨迹在已知抛物线内 所求弦中点的轨迹方程为 2 27yx 在已知抛物 线内 2 求曲线方程 例 3 已知ABC 的三个顶点都在抛物线 2 32yx 上 其中 2 8A 且ABC 的重心 G是抛物线的焦点 求直线BC的方程 解 由已知抛物线方程得 8 0G 设BC的中点为 00 M xy 则AGM 三点共 线 且2AGGM G 分AM所成比为2 于是 0 0 22 8 12 82 0 12 x y 解得 0 0 11 4 x y 11 4M 设 1122 B x yC xy 则 12 8yy 又 2 11 32yx 1 2 22 32yx 2 12 得 22 1212 32yyxx 12 1212 3232 4 8 BC yy k xxyy BC 所在直线方程为 4411yx 即4400 xy 例 4 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的一条准线方程是1x 有一条倾斜角为 4 的 直线交椭圆于AB 两点 若AB的中点为 1 1 2 4 C 求椭圆方程 解 设 1122 A x yB x y 则 1212 1 1 2 xxyy 且 22 11 22 1 xy ab 1 22 22 22 1 xy ab 2 12 得 2222 1212 22 xxyy ab 2 2 12 12 22 1212 1 1 2 bxxyy b xxayya 2 12 2 12 2 1 AB yyb k xxa 22 2ab 3 又 2 1 a c 2 ac 4 而 222 abc 5 由 3 4 5 可得 22 11 24 ab 所求椭圆方程为 22 1 11 24 xy 3 求直线的斜率 例 5 已 知 椭 圆 22 1 259 xy 上 不 同 的 三 点 1122 9 4 5 A x yBC xy 与 焦 点 4 0F的距离成等差数列 1 求证 12 8xx 2 若线段AC的垂直平分线与x轴 的交点为T 求直线BT的斜率k 1 证 略 2 解 12 8xx 设线段AC的中点为 0 4 Dy 又AC 在椭圆上 22 11 1 259 xy 1 22 22 1 259 xy 2 12 得 2222 1212 259 xxyy 12 12 121200 9 9836 2525 225 xxyy xxyyyy 直线DT的斜率 0 25 36 DT y k 直线DT的方程为 0 0 25 4 36 y yyx 令0y 得 64 25 x 即 64 0 25 T 直线BT的斜率 9 0 5 5 64 4 4 25 k 4 确定参数的范围 例 6 若抛物线 2 C yx 上存在不同的两点关于直线 3l ym x 对称 求实数 m的取值范围 解 当0m 时 显然满足 当0m 时 设 抛 物 线C上 关 于 直 线 3l ym x 对 称 的 两 点 分 别 为 1122 P x yQ xy 且PQ的中点为 00 M xy 则 2 11 yx 1 2 22 yx 2 12 得 22 1212 yyxx 12 12120 11 2 PQ yy k xxyyy 又 1 PQ k m 0 2 m y 中点 00 M xy在直线 3l ym x 上 00 3ym x 于是 0 5 2 x 中点在抛物线 2 yx 区域内 M 2 00 yx 即 2 5 22 m 解得1010m 综上可知 所求实数m的取值范围是 10 10 5 证明定值问题 例 7 已知AB是椭圆 22 22 10 xy ab ab 不垂直于x轴的任意一条弦 P是AB的 中点 O为椭圆的中心 求证 直线AB和直线OP的斜率之积是定值 证明 设 1122 A x yB xy且 12 xx 则 22 11 22 1 xy ab 1 22 22 22 1 xy ab 2 12 得 2222 1212 22 xxyy ab 2 12 12 2 1212 bxxyy xxayy 2 12 12 2 1212 AB bxxyy k xxayy 又 12 12 OP yy k xx 2 2 1 AB OP b k ka 2 2 ABOP b kk a 定值 6 处理存在性问题 例 8 已知双曲线 22 1 1 2 xy 过 1 1B能否作直线l 使l与双曲线交于P Q 两点 且B是线段PQ的中点 这样的直线如果存在 求出它的方程 如果不存在 说明理 由 解 假设这样的直线存在 设 P Q的坐标分别为 1122 x yxy 则 12 2xx 12 2yy 又 22 11 1 1 2 xy 1 22 22 1 1 2 xy 2 12 得 12121212 1 0 2 xxxxyyyy 1212 20 xxyy PQ 的斜率 12 12 2 yy k xx 又直线l过 P Q B三点 l 的方程为 121yx 即21yx 但若将21yx 代入 22 1 1 2 xy 整理得方程 2 2430 xx 而此方程无实数解 所以满足题设的直线不存在 7 其它 看上去不是中点弦问题 但与之有关 也可应用 例 9 过抛物线 0 2 2 ppxy上