阶线性常系数微分方程-2.ppt

n阶线性常系数微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 9 5二阶线性常系数微分方程 1 线性常系数齐次方程 常系数 齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 代数方程 之根 转化 第十二章 特征方程法 故有 特征方程 特征根 二阶线性常系数齐次方程的解法 9 70 和它的导数只差常数因子 代入 9 70 得 所以令方程的解为 为待定常数 1 有两个不相等的实根 特征根为 得齐次方程的通解为 2 有两个相等的实根 特征根为 可得方程的一个解 可验证也是方程的一个解 带入 9 70 得 这说明是方程 9 70 的一个解 又因为 不为常数 线性无关 得齐次方程的通解为 或 解特征方程 特征根 因此原方程的通解为 得齐次方程的通解为 3 有一对共轭复根 特征根为 是方程的两个解 也是方程的解 线性无关 例2求下列微分方程的通解 解 1 特征方程为 特征根 因而方程有两个线性无关的特解 方程的 通解为 2 特征方程为 特征根 因而方程有两个线性无关的特解 方程的通解为 复根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 n阶常系数线性齐次方程解法 特征方程为 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 例3求的通解 解 特征方程为 易看出是 一个特征根 于是利用多项式除法可得 特征根 因此原方程的通解为 例4 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解为 例5 解 特征方程 特征根 原方程通解 不难看出 原方程有特解 2 若干特殊线性常系数非齐次微分方程的特解 根据解的结构定理 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 求特解的方法 根据f x 的特殊形式 的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 待定系数法 为实数 设特解为 其中为待定多项式 为n次多项式 1 注 1 若 不是特征方程的根 代入原方程 得 由于是一个n次多项式 要使 的两端恒等 可令Q x 为另一个n次多项式 其中为待定系数 代入 比较两端 2 若 是特征方程的单根 即 x的同次幂的系数 就得到n 1个方程联立的方程组 从而确定 n 1 个待定常数 所求特解为 要使 恒等 那末Q x 必须是n次多项式 令 用同样的方法确定的系数 3 如果 是特征方程的重根 即 那么 成为 要使 恒等 那末Q x 必须是n次多项式 令 用同样的方法确定系数 结论 在 1 中 若 则 1 具有形如 的特解 其中与同次 k按 不是特征根 是特征单根 是特征重根依次取0 1或2 特别是 特解 补例求y 2y 3y 3x 1的一个特解 解对应的齐次方程为y 2y 3y 0 其特征方程为这里 0不是特征根 应设特解为y b0 x b1 代入方程 3b0 x 2b0 3b1 3x 1 比较x同次幂系数 得 于是特解为 求得 解 对应的齐次方程为 特征方程 特征根 齐次方程的通解 这里 0不是特征根 应设特解为 代入方程得 比较x同次幂系数得 于是特解为 原方程的通解为 例5求的通解 解 对应的齐次方程的特征根为 5 不是特征根 所以设方程有特解 代入微分方程得 求得 故得特解 于是微分方程的通解 补例解方程 特征方程 代入原方程 得 解 齐次方程 特征根 齐次方程的通解 因为为特征方程的单根 故设特解 原方程的通解为 补例求方程y 5y 6y 的通解 解对应的齐次方程为 y 5y 6y 0 特征方程为 特征根为 齐次方程的通解为 由于 2是特征单根 故应设特解 代入方程 得 比较x同次幂系数得 解得 于是特解为 通解为 2 其中a b中可以一个等于0 设想方程 1 有如下形式的特解 其中A B待定 代入 1 整理得 由于函数组线性无关 上式两端 与的系数应相等 即有 其中A B为未知数 由线性代数的理论知 上式方程组有惟一解的充要条件是其系数行列式 1 当与不同时为零 这等价于不是方程的 特征根 时 9 82 有唯一解 记作A B 这时方程 1 有特解 11 当与同时为零 这等价于是方程的特 特征根 时 由方程组 9 82 无法确定A与B 这时 设方程 1 有下列形式的特解 其中常数A B待定 将上式代入 1 注意 由此得 其系数行列式所以此方程有惟一解A B 这时 就是 1 的一个特解 解 对应的齐次方程为 特征方程为 特征根为 由于不是特征根 所以设特解为 齐次方程的通解为 代入方程得 比较系数得 解得A 1 B 3 特解为 通解为 若 当 常数 时 即情况 3 的型 也可作类似的讨论 并可得类似的结论 现将不同的非齐次项f x 所对应的特解列表如下 解 分别求出方程 与 的特解 形式 故设 9 84 的特解为 代入方程 9 84 得 比较系数得 解得 所以方程 9 84 有特解 方程 9 85 其右端是形式 是方程 9 85 特征根 故设 9 84 的特解为 代入方程 9 85 得 由此推出 所以方程 9 85 有特解 故方程 9 83 有特解 习题9 51 1 3 5 2 3 1 3 5 6 4 1 3 5 解 对应的齐次方程为 特征方程为 特征根为 齐次方程的通解为 由于是方程的特征根 故设特解为 代入原方程可定出A B 请自己完成 补例 解 1 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 2 特征方程 有根 利用叠加原理 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 复根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 一 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 内容小结 参阅p 186 二 n阶常系数线性齐次方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 参阅p 187 三