高考数学一轮复习 平面向量专题训练(1).doc

平面向量一、基础知识要记牢在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量二、经典例题领悟好例1(2013北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示若cab(，r)，则_.解析以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)由cab，即(1，3)(1,1)(6,2)，得61，23，故2，则4.答案4平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：(1)忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；(2)错用数乘公式.对此，要注意两点：(1)运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；(2)运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.三、预测押题不能少1(1)已知点a(1,3)，b(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()a. b.c. d.解析：选a由已知， 得(3，4)，所以|5，因此与同方向的单位向量是.(2)如图，在abc中，设a，b，ap的中点为q，bq的中点为r，cr的中点恰为p，则等于()a.abb.abc.abd.ab解析：选c如图，连接bp，则b，a，得2ab.又()，将代入，得2ab，解得ab.平面向量的数量积一、基础知识要记牢(1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定(2)求非零向量a，b的夹角一般利用公式cosa，b先求出夹角的余弦值，然后求夹角(3)向量a在向量b方向上的投影为|a|cos .二、经典例题领悟好例2(1)(2013湖北高考)已知点a(1,1)，b(1,2)，c(2，1)，d(3,4)，则向量在方向上的投影为()a. b.c d(2)(2013天津高考)在平行四边形abcd中， ad1，bad60，e为cd的中点若1, 则ab的长为_解析(1)由已知得(2,1)，(5,5)，因此在方向上的投影为.(2)设ab的长为a(a0)，又因为，于是()22a2a1，由已知可得a2a11.又a0，a，即ab的长为.答案(1)a(2)求平面向量的数量积的方法有两个：(1)定义法：ab|a|b|cos ，其中为向量a，b的夹角；(2)坐标法：当a(x1，y1)，b(x2，y2)时，abx1x2y1y2.三、预测押题不能少2(1)已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()a. b.c. d.解析：选da(ab)a(ab)a2ab|a|2|a|b|cosa，b0，故cosa，b，故所求夹角为.(2)已知点g为abc的重心，a120，2，则|的最小值是()a. b.c. d.解析：选c设bc的中点为m，则.又m为bc中点，()，()，| .又2，a120，|4.| ，当且仅当|时取等号，|的最小值为.平面向量是高中数学的基础工具之一，它具有代数形式与几何形式的“双重型”，考查时经常与三角函数、解析几何、线性规划问题等知识交汇命题平面向量与线性规划问题的交汇一、经典例题领悟好例1(2013北京高考)已知点a(1，1)，b(3,0)，c(2,1)若平面区域d由所有满足 (12，01)的点p组成，则d的面积为_设p点坐标、坐标关于，x，y方程组求出，关于x，y不等组作出可行域d的面积解析设p(x，y)，则(x1，y1)由题意知(2,1)，(1,2)由知(x1，y1)(2,1)(1,2)，即12,01，作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域d为平行四边形，可求出m(4,2)，n(6,3)，故|mn|.又x2y0与x2y30之间的距离为d，故平面区域d的面积为s3.答案3本题由把平面向量转化为线性规划问题，求解的易误点是由求x，y的范围然后计算面积时，出现面积变大，错误的原因是多次运用不等式的运算性质时，不等式之间出现了不等价变形本题采用线性规划知识求解二、预测押题不能少1已知o为坐标原点，a点的坐标为(1,2)，点p的坐标(x，y)满足约束条件则z的最大值为()a2b1c1 d2解析：选d如图作可行域，zx2y，显然在b(0,1)处zmax2.故选d.平面向量与三角函数的交汇一、经典例题领悟好例2已知o为坐标原点，对于函数f(x)asin xbcos x，称向量(a，b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量的伴随函数(1)设函数g(x)sin(x)2cos(x)，试求g(x)的伴随向量的模；(2)记(1，)的伴随函数为h(x)，求使得关于x的方程h(x)t0在0，内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围解(1)g(x)sin(x)2cos(x)2sin xcos x，(2,1)，| .(2)由已知可得h(x)sin x cos x2sin(x)，0x，x，h(x)1,2当x，时，即x0，时，函数h(x)单调递增，且h(x)，2；当x(，时，即x(，时，函数h(x)单调递减，且h(x)1,2)使得关于x的方程h(x)t0在0，内恒有两个不相等实数解的实数t的取值范围为，2)解决平面向量与三角函数结合的题目，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题.而本题求解需要在理解新定义的基础上把问题转化为常规类型，运用三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式进行化简运算，同时也伴随着平面向量的坐标运算.二、预测押题不能少2设a(cos ，(1)sin )，b(cos ，sin ) 是平面上的两个向量，若向量ab与ab互相垂直(1)求实数的值；(2)若ab，且tan ，求tan 的值解：(1)由题设，可得(ab)(ab)0，即|a|2|b|20.代入a，b的坐标，可得cos2(1)2sin2cos2sin20，所以(1)2sin2sin20.因为00)故2.(2)由(1)及题设条件，知abcos cos sin sin cos().因为0，所以0，|b|0,0cos ，且ab、ba，所以cos ，cos ，其中m，nn*，两式相乘，得cos2.因为0cos ，所以0cos2，得到0mn2，故mn1，即ab.答案d本题把向量的数量积、夹角、不等式和集合等问题通过新定义有机结合在一起解答本题的关键是明确ab与ba在集合中的实际意义是cos 与cos 都能表示成(nz)的形式二、预测押题不能少3在平面斜坐标系xoy中，xoy45，点p的斜坐标定义为“若x0e1y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点p的坐标为(x0，y0)”若f1(1,0)，f2(1,0)，且动点m(x，y)满足|，则点m在斜坐标系中的轨迹方程为()axy0 bxy0c.xy0 d.xy0解析：选d依题意，(1x，y)(1x)e1ye2，(1x，y)(1x)e1ye2，由|，得22，(1x)e1ye22(1x)e1ye22，4x4ye1e20.xoy45，e1e2，故2xy0，即xy0.1设x，yr，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac, bc，则|ab|()a.b.c2 d10解析：选b由题意可知解得故ab(3，1)，|ab|.2(2013河北省质量监测)已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()a. bc. d解析：选b由已知得，向量a(x1，y1)与b(x2，y2)反向，3a2b0，即3(x1，y1)2(x2，y2)(0,0)，得x1x2，y1y2，故.3(2013哈尔滨四校联考)在abc中，n是ac边上一点，且，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为()a. b.c1 d3解析：选b如图，因为，所以，mm，因为b，p，n三点共线，所以m1，所以m.4设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()a150 b120c60 d30解析：选b如图，作a，b，由三角形法则，可知abc，又|a|b|c|，所以abc是一个等边三角形，故b60，a，b18060120.5(2013昆明质检)在直角三角形abc中，c，ac3，取点d使2，那么等于()a3 b4c5 d6解析：选d如图，.又2，()，即.c，0，26.6(2013湖南高考)已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()a.1 b.c.1 d.2解析：选c建立平面直角坐标系，令向量a，b的坐标a(1,0)，b(0,1)，令向量c(x，y)，则有1，|c|的最大值为圆(x1)2(y1)21上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径，即1.7(2013山东高考)在平面直角坐标系xoy中，已知(1，t)，(2,2)若abo90，则实数t的值为_解析：(3,2t)，由题意知0，所以232(2t)0，t5.答案：58(2013石家庄质量检测)在矩形abcd中，ab2，bc1，e为bc的中点，若f为该矩形内(含边界)任意一点，则的最大值为_解析：以a为坐标原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则e.设f(x，y)，则2xy.令z2xy，当z2xy过点(2,1)时，取最大值.答案：9.如图，在abc中，点o是bc的中点过点o的直线分别交直线ab，ac于不同的两点m，n，若m，n，则mn的值为_解析：().m，o，n三点共线，1，mn2.答案：210已知abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin b，sin a)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：abc为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角c，求abc的面积解：(1)证明：mn，asin absin b.即ab，其中r是三角形abc外接圆半径，故ab，即abc为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)故sabsin c4sin.11已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b.已知在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a ，b2，sin b，求f(x)4cos的取值范围解：(1)ab，cos xsin x0，tan x.cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b sin.由正弦定理，得，可得sin a，a.f(x)4cossin.x，2x.1f(x)4cos.f(x)4cos的取值范围为.12已知向量(cos ，sin )(0)，(sin ，cos )，其中o为坐标原点(1)若且1，