椭圆方程求法例题.doc

椭圆的方程的求法一、 定义法【例1】已知的周长是18，求点的轨迹方程。【变式】：在周长为定值的ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为.建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.【解】:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6 因为 又 ,所以 ,由题意得 此时,|PA|=|PB|,P点坐标为 P(0,4).所以C点的轨迹方程为 【例2】已知椭圆以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，求椭圆的方程；【解法1】：有定义可得，点在椭圆上。所以，又故椭圆方程为：【解2】设椭圆方程点在椭圆上，OxyF2F1M【例3】已知圆，定点动圆M过点F2，且与圆F1相内切求点M的轨迹C的方程.【解析】设圆M的半径为r因为圆M与圆F1相内切，所以MF14rOxyF2F1M因为圆M过点F2，所以MF2r所以MF14MF2，即MF1MF24所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆且此椭圆的方程形式为1(ab0)其中2a4，c1，所以a2，b所以曲线C的方程1 【例4】设为直角坐标系内轴正方向的单位向量，且求点的轨迹的方程；【解析】由已知可得又知，即点到两定点的距离之和为定值8，又84所以的轨迹为以 为焦点椭圆，故方程为 【例5】已知的三边长成等差数列,若点的坐标分别为.求顶点的轨迹的方程;【解析】:因为成等差数列,点的坐标分别为 所以且 由椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆(去掉长轴的端点), 所以. 故顶点的轨迹方程为 【例6】一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点求以、为焦点且过点的椭圆的方程;【解析】设点关于直线的对称点, 则,解得, ,根据椭圆的定义,得=, , 椭圆的方程为 【例7】已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在上，且满足，求点的轨迹方程。【解析】由题意可得：垂直平分，所以=，所以二、 待定系数法高考试题整理中的试题1（2009广东）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，椭圆的方程3（2009浙江理）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为求椭圆的方程 16（2009宁海理）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1求椭圆C的方程 7（2009山东理）设椭圆（）过，两点，为坐标原点，求椭圆的方程。9（2009全国）已知椭圆的离心率为，直线过右焦点F，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为，求，的值10（2009安徽文）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切求a与b 14（2009湖南文）已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）求椭圆C的方程三、 转化已知条件【例1】已知点的坐标分别是,直线相交于点M,且它们的斜率之积为.求点M轨迹的方程;【解析】:设点的坐标为, 整理,得(),这就是动点M的轨迹方程 【例2】设Q、G分别为的外心和重心,已知,求点的轨迹【解析】:设, 又Q是外心,且 ,即 【例3】已知动点P到直线的距离是到定点()的距离的倍.求动点P的轨迹方程;【解析】:设动点,由题意知. . 即动点P的轨迹方程是. 【例4】在平面直角坐标系中,长度为6的线段PQ的一个端点P在射线y=0(x0)上滑动,另一端点Q在射线x=0(y0)上滑动,点M在线段PQ上,且求点M的轨迹方程;【解】:设点P、Q、M的坐标分别是P(x1, 0)、Q(0,y1)、M(x, y) 其中x10,y10,依条件可得 可得： 代入(*)式,得 即点M的轨迹方程为 【例5】已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足。求动点P的轨迹方程；【解】设动点P（x，y）， 则 由已知得， 化简得 点P的轨迹是椭圆 【例7】已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且求动点的轨迹的方程；【解析】设，则， 即，即，所以动点的轨迹的