《随堂优化训练》高中数学 第一章 1.2 1.2.1 测量距离问题 配套课件 新人教A版必修5.ppt

1 2应用举例1 2 1测量距离问题 60 270 1 如图1 a点的方位角为 b点的方位角为 图1 2 地面上三个点a b c 若b在a正北方向上 c在a北偏东20 的方向上 c在b东偏北25 方向上 则c在a东偏北 方向上 c在b北偏东 方向上 a在c西偏南 方向上 b在c西偏南 方向上 b在c南偏西 方向上 3 有一长为10m的斜坡 它的倾斜角为60 现要将倾斜角改为30 而坡高不变 则坡底要伸长 m 70 65 70 25 65 10 4 为了测量b c之间的距离 在河岸a c处测量 如 d 图2 测得下面四组数据 较合理的是 图2 a c与 c b c与 b c与bd b 与 重难点 测量距离问题 测量距离问题包括两种情况 测量一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离 测量两个不可到达点之间的距离 第一种实际上就是已知三角形两个角和一边的解三角形问题 用正弦定理即可解决 如图3 对于第二种情况 首先把求不可到达的两点a b之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题 然后把bc ac转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题 如图4 图3 图4 难点 解三角形应用题的一般思路 1 准确理解题意 分清已知与所求 准确理解应用题中的有关名称 术语 2 根据题意画出图形 3 抽象或构造出三角形 标出已知和未知 4 将要求解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦定理 余弦定理等知识建立数学模型 然后正确求解 演算过程要简练 计算要准确 最后还要作答 测量宽度 例1 如图5某河段的两岸可视为平行 为了测量该河段的宽度 在河段的一岸边选取两点a b 观察对岸的点c 测得 cab 75 cba 45 且ab 100米 1 求sin75 2 求该河段的宽度 图5 如图5 过点b作bd垂直于cd 垂足为d 则bd的长就是该河段的宽度 在rt bdc中 1 1 如图6 为了测定河的宽度 在一岸边选定两点a b 望对岸标记物c 测得 cab 30 cba 75 ab 120m 则河的宽度为 60m 图6 求不可到达两点之间的距离问题例2 如图7 a b两点都在河的对岸 不可到达 在河岸边选定两点c d 测得cd 1000米 acb 30 bcd 30 bda 30 adc 60 求ab的长 图7 解 由题意知 acd为正三角形 所以ac cd 1000米 在 bcd中 bdc 90 测量不能达到的两点间的距离 利用解斜三角形是一个重要的方法 解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形 测出有关边长和角 用正 余弦定理进行计算 2 1 如图8 现要计算北江岸边两景点b与c的距离 由于地形的限制 需要在岸上选取a和d两个测量点 现测得ad cd ad 10km ab 14km bda 60 bcd 135 求两景点b与c的距离 假设a b c d在同一平面内 测量结果保留整数 参考数据 1 414 图8 解 在 abd中 设bd x 则ba2 bd2 ad2 2bd ad cos bda 即142 x2 102 2 10 x cos60 整理得 x2 10 x 96 0 解得x1 16 x2 6 舍去 由正弦定理 得 sin bc cdb sin bd bcd 即两景点b与c的距离约为11km 航行问题 例3 一船在a处向北偏西30 的方向以每小时30海里的速度航行 一个灯塔原来在船的北偏东15 经过40分钟后 船在b处 灯塔c在船的北偏东45 求船和灯塔之间原来的距离 解 如图9 图9 由已知 ab 20海里 cab 45 abc 105 在 abc中 根据正弦定理得 acabsin abcsinc 解决有关航行问题的应用题 关键是对一些数学术语要理解好 把它翻译到图形中作出草图 然后运用正弦 余弦定理求解 3 1 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km h的速度从a处出发沿北偏东60 的方向航行 进行海面巡逻 当行驶半小时到达b处 发现在北偏西45 的方向上有一艘船c 船c位于a处北偏东30 的方向上 求此时缉私艇b与船c的距离 absin acb bcsin bac 即bc 20sin30 sin75 故此时缉私艇b与船c的距离为 图1 解 如图1 由题意ab 40 0 5 20 bac 30 abc 75 所以 acb 75 由正弦定理 例4 某货轮在海上以30海里 小时的速度沿方位角150 的方向航行 为了确定船的位置 船在b点观察灯塔a的方位角是126 航行半小时后到达c点 观察灯塔a的方位角是78 请用简图表示船的位置 错因剖析 对方位角的定义理解不清 错把标准方向定为正东方向 正解 如图10 图10 4 1 甲船在a处 乙船在甲船正南方向距甲船20nmile的b处 乙船以10nmile h的速度向正北方向行驶 而甲船同时以8nmile h的速度由a处向北偏西60 方向行驶 问经过多少小时后 甲 乙两船相距最近 解 设甲 乙两船经过t小时后相距最近 且分别到达