数学必修1教材分析

数学必修1教材分析 普通高中课程标准实验教科书 数学 必修1 第1章集合 4课时 集合的含义及其表示 子集 全集 补集 交集 并集第2章函数的概念与基本初等函数 32课时 函数的概念和图象 指数函数 对数函数 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 第1章集合 定位 集合语言是现代数学的基本语言 使用集合语言 可以简洁 准确地表达数学的一些内容 高中数学课程是将集合作为一种语言来学习 因此 这里4个学时的学习要求是阶段性的要求 学生还将在整个高中数学课程中 学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象 发展运用数学语言进行交流的能力 切记 舍本求末 1PK1棋牌公社官网编辑整理 注意几个问题 集合是在数学中不加定义名词 在我们高中的学习中 所给出的集合都是清楚准确的 不要在集合的概念上做文章 集合论是一门独立的分支 主要研究对象是序数和基数理论 在高中阶段不做专门的学习 只要求学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象 发展运用数学语言进行交流的能力 在集合这部分内容的教学中 应以学生熟悉的内容为载体 特别是已经学过的数学内容为载体 在学习集合这部分知识时 主要讨论与数集有关的集合 如果使用实际生活中的例子 一定要保证其准确性 注意几个问题 在集合教学中 不宜采用学生还没有很好掌握的数学内容为载体 例如 平面点集中 关于区域 曲线等的讨论 如 对于平面点集 a b a b 的含义的理解暂不做要求 关于平面上点的集合的表示 在解析几何 线性规划等的学习中 再根据具体的问题讨论 又例如 一元二次不等式解的集合表示 应放在一元二次不等式的教学中讨论 注意几个问题 在教学过程中 集合运算的公式没有必要进一步拓展 应强调学生使用Venn图表达集合的关系及运算 从中体会直观示意图对理解抽象概念的作用 数学思想的体现 集合作为一种语言 要在今后的教学中不断的使用 例如 我们在导数 线性规划 解析几何等学习中会不断地运用集合的表示 注意几个问题 不断熟练与深化 内容 集合的含义及其表示 子集 全集 补集 交集 并集 结构 新教材对集合处理的编写意图 准确定位 突出核心思想和核心概念 苏教版引言 用运算处理集合的交 并 补 结构 表示 运算 结构 表示 度量 运算的扩展 数 式 函数 集合 向量 事件 矩阵 几点说明 P8 思考 中A B与B A可以同时成立 成立的条件是A B 这两者同时成立是证明集合相等的方法 教学过程中 可以引导学生利用Venn图加以分析 使学生感受到这两者同时成立和集合相等的等价性 P8 9教材通过 思考 例2中每一组的三个集合中 A B两个集合中没有公共元素 且它们的元素合在一起 恰是集合S中的元素 这个思考为学生感受和理解补集 全集的概念奠定基础 也为从集合运算的角度理解补集埋下伏笔 几点提示 交集和并集的概念也可以同时给出 通过对照比较 便于学习 对交集和并集的运算 可借助Venn图和数轴来帮助理解 要求的弹性 体现不同学生不同层次的要求 1 必要的层次 2 个性发展与个人兴趣的选择性层次 第2章函数概念与基本初等函数 函数内容的知识链 初中 初步的函数知识 变量观 一些简单函数的表示法 性质 图象 必修数学1 函数概念 集合观 与基本初等函数I 指数函数 对数函数 幂函数 必修数学4 基本初等函数II 三角函数 必修数学5 数列 联系 本质 选修系列1 1 选修系列2 2 导数及几其应用 定位和价值 最为人们常用 将会普及的数学方法是什么呢 大概是函数观念 芝加哥大学的尤什斯金这样说 确实如此 股票走势图 心电图 房地产广告 利息 人们的生活中充满了函数 既然如此 客观世界 现实生活应该成为函数的背景 初中已有 而对应 关系 变换等都是在两个集合之间进行的 用集合的观点认识函数将使函数从描述性 定义 向形式化的数学概念升华 美国数学史家伊夫斯认为 用集合论将函数概念一般化是数学史上的一个里程碑 函数是 通过建立数学模型来刻画与研究世界 的典范 函数又是中学数学的核心概念之一 将贯穿整个中学数学 因此 函数教学在高中数学教学 函数学习对高中数学学习都具有奠基的地位 通过函数一章的学习 理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用 进而学会用变量的眼光 函数的观点去观察世界 分析问题和解决问题 已有直观性 描述性的定义 对函数表示方法已有了解 对一次函数 二次函数 反比例函数等图像及简单性质也已了解 学生的知识基础 内容与结构 函数的概念和图象 指数函数 对数函数 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 若干变化 图象在函数的概念中就出现这样处理 有利于整体上 本质上表现函数概念 同时为函数表示法的展开而 水到渠成 数形的统一 先对应 函数而后映射函数是特殊的映射 它的定义域和值域都是实数 我们先给出了函数概念 再给出映射概念 从特殊到一般 从具体到抽象 这样符合学生的认知规律 对函数 三要素 要求的变化了解函数的构成要素 会求一些简单函数的定义域和值域 这也是与原有内容很不同的地方 减弱了求定义域 值域的要求 尤其是要避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题 进行过于繁琐的技巧训练 这也是对现实教学情况的反思 反函数 的变化削弱了反函数的概念 只以具体函数为例进行解释和直观理解 通过比较同底的指数函数和对数函数 说明指数函数y ax a 0 a 1 和对数函数y logax a 0 a 1 互为反函数 不一般地讨论形式化的反函数定义 也不要求求已知函数的反函数 互为反函数的两个函数的图象间关于直线y x对称的性质 只通过具体函数讨论 指 对 幂函数的要求与变化 增加了函数应用 函数应用的两个方面 函数与其他数学知识的有机联系 这里集中研究的是从函数特征判定方程实数解的存在性及利用二分法近似求方程解 函数思想统领 函数与实际问题的联系 用函数解决实际问题 分三个层次来反映函数的应用 学会用函数描述简单实际问题 利润问题 学会用具体函数模型解决简单实际问题 半衰期 初步体会数学建模的过程 边际利润函数 新教材对本章处理的编写意图 突出知识的形成过程 以函数的概念为例 章首语 节首语 老教材定位 如何用集合的观点理解函数 我们将进一步研究函数的性质 本教材的定位 用怎样的模型刻画两个变量之间的关系 这个模型具有怎样的特征 如何借助这一模型描述和解释我们周围的世界 不同点 知识的形成过程 怎么想到用集合与对应的观点认识函数概念的 老教材提出了原概念不能解决的问题 形成了认知冲突 即使老师给学生留下再大的空间 学生也无法想到集合 映射的观点 数学史上这是一次伟大的突破 本教材既形成了认知冲突 离散型 也给其发现集合 映射观点提供了丰富背景和探索空间 定位的目标不同 一个是认识模型 一个是建立模型 一个是以函数为起点 有什么性质 怎样应用 一个现实 数学 现实 从章首语中提出的问题可以看出 总体来说 本教材 把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习 是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型 强调对函数本质的认识和理解 在高中数学学习中多次接触 螺旋上升 关注背景 应用 整体性 思想性 利用主背景统领全章 注重知识的生长点 节首问题 在现实生活中 我们可能会遇到下列问题 1 人口变化情况 表 2 自由落体运动中 物体下落距离y m 与时间x s 之间的关系 解析式 3 某市一天24小时的气温变化图 曲线 图象 课本P21 2 1 背景 P26例5 函数的图像 P30 2 1 2 函数的表示方法 P34 2 1 3 函数的单调性 P85例4 数据拟合 研究方法的统领 背景 知识 函数 应用 节首的三个例子既与初中时学习的函数内容相联系 又蕴含了函数的三种表示方法 列表法 解析法 图象法 起到了承上启下的作用 这三个实际问题背景 既是函数知识的生长点 又突出了函数的本质 为从数学内部研究函数打下了基础 而某城市一天24小时内的气温变化将函数概念 函数的图象 函数的单调性 函数的零点有机地贯通 前后贯通 有机渗透 x与 y同号 增函数 x与 y异号 减函数 反映直线倾斜程度 x 0时 的极限 以问题链展开学习过程 以函数的单调性为例 章首问题 节首问题 不断提出新问题 对每一节课 都应该以问题链的方式展开 问题情境 1 情境 第2 1 1开头的第三个问题 2 问题 说出气温在哪些时间段内是升高的 怎样用数学语言刻画 随着时间的增大气温逐步升高 这一特征 学生活动 建构数学 问题1 观察下列函数的图象 图略 指出图象变化的趋势 问题2 你能明确说出 图象呈逐渐上升趋势 的意思吗 问题3 如何用数学语言来准确地表述函数的单调性呢 问题4 如何定义单调减函数 问题5 给出函数单调性和单调区间的概念 几点说明 关于背景的设置 是使学生获得对数学 对数学价值认识的需要 是数学学习的需要 使学生了解概念 结论等产生的背景 产生学习数学的冲动和欲望 即是学习情感上的需要 也是对现实教学情况的反思 要辨证的看背景的设置 关于映射以前的教材是用映射来定义函数 而新教材则把映射看成是函数概念的推广 函数的对象只是数集 而一般映射的对象可以是任意集合 显然 现在的处理是先特殊再一般 其目的是考虑与初中知识的衔接 同时更符合学生的认知规律 映射中的问题背景和例子的安排 目的是先从学生身边说起 再抽象到一般的字母 让学生体会到映射的一般性 值得注意是例题暗示了数字化的用意 看似平常 却反映了人们在探索和发明中的聪明才智 事实上 从数学的发展史上来看 是先有函数 再通过函数概念的一般化 得到了更一般的对应关系 映射 因此映射比函数更抽象 相对而言 后一种处理方法更符合学生的认知规律 而且和初中内容的衔接也比较自然 需要特别指出的是 新教材中 没有涉及到象和原象的概念 更没有映射的分类 不要拓宽和加深 关于反函数新教材降低了对反函数的要求 只要求知道指数函数y ax和对数函数y logax a 0 a 1 互为反函数 对反函数的一般概念 判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求 教学中 可以让学生结合图象体会 不必要对此作过多的研究 对有兴趣的学生 可以指导其阅读教材中链接的内容 结合对数函数产生的背景 体会求一个函数的反函数的步骤 关于函数的奇偶性 自然 图象 操作感 数学注意从直观开始 1 必要性 2 感受美 关于函数与方程 用函数统领方程 不等式等 零点的定义 函数思想的运用 在本章研究方程实数解时 我们需要假设f x 的图象是一条连续曲线 如果曲线不连续 问题就无从说起 正因为曲线是连续的 端点一正一负的区间内部就一定存在函数的零点 在中学并不严格定义连续函数 我们是从函数的图象入手 从一段图象没有间断点来体会连续的意义 注意两小节的层次性 关于函数应用 20世纪下半叶以来 数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一 数学正在从幕后走向台前 在许多方面直接为社会创造价值 在很长一段时间内 我们对于数学与实际 数学与其他学科的联系未能给予充分的重视 使得学生对数学的兴趣日趋减少 认为数学就是做题 学数学没用 也就是升学有用 学习方式的改变 实践表明 开展数学应用的教学活动符合社会需要 有利于激发学生学习数