（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时分层作业四十五 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质 理.doc

课时分层作业 四十五直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015北京高考)设,是两个不同的平面,m是直线且m,“m”是“”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】选b.当m时,可能,也可能与相交.当时,由m可知,m.因此,“m”是“”的必要而不充分条件.2.(2018惠州模拟)pa垂直于以ab为直径的圆所在的平面,c为圆上异于a,b两点的任一点,则下列关系不正确的是()a.pabcb.bc平面pacc.acpbd.pcbc【解析】选c.由pa平面acbpabc,故a不符合题意;由bcpa,bcac,paac=a,可得bc平面pac,所以bcpc,故b,d不符合题意;无法判断acpb,故c符合题意.3.(2018石家庄模拟)已知平面,直线l,若,=l,则()a.垂直于平面的平面一定平行于平面b.垂直于直线l的直线一定垂直于平面c.垂直于平面的平面一定平行于直线ld.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直【解析】选d.垂直于平面的平面与平面重合、平行或相交,故a不正确;垂直于直线l的直线若在平面内,则一定垂直于平面,否则不一定,故b不正确;垂直于平面的平面可能垂直于直线l,故c不正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直,故d正确.【变式备选】已知三条不重合的直线m, n,l和两个不重合的平面,则下列命题正确的是()a.若mn,n,则mb.若,=m,nm,则nc.若ln,mn,则lmd.若l,m且lm,则【解析】选d.若mn,n,则m或m,故a不正确;若,=m,nm,则n与相交或n或n,故b不正确;若ln,mn,则l与m相交、平行或异面,故c不正确;若l,m且lm,则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知.4.直三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱长为2,ac=bc=1,acb=90,d是a1b1的中点,f是bb1上的动点,ab1,df相交于点e.要使ab1平面c1df,则线段b1f的长为()a.b.1c.d.2【解析】选a.设b1f=x,因为ab1平面c1df,df平面c1df,所以ab1df.由已知可得a1b1=,设rtaa1b1斜边ab1上的高为h,则de=h.又2=h,所以h=,de=.在rtdb1e中,b1e=.由面积相等得=x,得x=.【变式备选】如图,三棱柱abc-a1b1c1 中,侧棱aa1底面a1b1c1,aa1=ac=bc=1,acb=90,d是a1b1的中点,f是bb1上的点,ab1,df相交于点e,且ab1df,则下列结论中不正确的是()a.ce与bc1异面且垂直b.ab1c1fc.c1df是直角三角形d.df的长为【解析】选d.对于a,因为bc1平面b1c1cb,ce平面b1c1cb,且c平面b1c1cb,所以ce与bc1是异面直线.因为aa1cc1,aa1平面abc,所以cc1平面abc,所以cc1ac.又acbc,bccc1=c,所以ac平面b1c1cb,又bc1平面b1c1cb,所以acbc1.又四边形b1c1cb是正方形,连接b1c,所以bc1b1c,又b1cac=c,所以bc1平面ab1c,因为ce平面ab1c,所以bc1ce,故a正确;对于b,因为c1a1=c1b1,d是a1b1的中点,所以c1da1b1,由aa1底面a1b1c1可得aa1c1d,又a1b1aa1=a1,所以c1d平面abb1a1,所以c1dab1,又dfab1,c1ddf=d,所以ab1平面c1df,所以ab1c1f,故b正确;对于c,由c1d平面abb1a1可得c1ddf,故c1df是直角三角形,故c正确;对于d,因为ac=bc=aa1=1,acb=90,所以a1b1=ab=,ab1=,所以db1=,因为ab1df,所以fdb1=ab1f=a1ab1,所以cosfdb1=cosa1ab1,即=,所以=,解得df=,故d错误.5.已知正方体abcd-a1b1c1d1,点e,f,g分别是线段dc,d1d和d1b上的动点,给出下列结论对于任意给定的点e,存在点f,使得afa1e;对于任意给定的点f,存在点e,使得afa1e;对于任意给定的点g,存在点f,使得afb1g;对于任意给定的点f,存在点g,使得afb1g.其中正确结论的个数是()a.0b.1c.2d.3【解析】选b.由de平面a1d,根据三垂线定理,对于任意给定的点e,a1e在平面a1d的射影为a1d,所以存在点f,使得afa1e,所以正确;如果对于任意给定的点f,存在点e,使得afa1e,那么,又a1dad1,可知过a有两条直线与a1d垂直,故错误;只有af垂直b1g在平面ad1的射影时,afb1g,故错误;只有af平面bb1d1d时,才正确,af与平面bb1d1d不垂直,故错误.【变式备选】对于四面体a-bcd,有以下命题:若ab=ac=ad,则点a在底面bcd内的射影是bcd的外心;若abcd,acbd,则点a在底面bcd内的射影是bcd的内心;四面体a-bcd的四个面中最多有四个直角三角形;若四面体a-bcd的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()a.b.c.d.【解析】选d.由题设ab=ac=ad,故顶点a在底面内的射影是底面外心,故命题是正确的;四面体中的四个面中最多有四个直角三角形,如图1,正方体中的四面体a-bcd中有四个直角三角形,故命题是正确的;对于命题,如图2,尽管abcd,acbd,点a在底面bcd内的射影不一定是bcd的内心,即命题是错误的;若四面体的6条棱都为1,则它的体积为v=12=,又设内切球的半径为r,则v=4r=r=,则s=4r2=4=,即命题也是正确的.二、填空题(每小题5分,共15分)6.,是两个平面,ab,cd是两条线段,已知=ef,ab于b,cd于d,若增加一个条件,就能得出bdef,现有下列条件:ac;ac与,所成的角相等;ac与cd在内的射影在同一条直线上;acef.其中能成为增加条件的序号是_.【解析】由题意得,abcd,所以a,b,c,d四点共面,:因为ac,ef,所以acef,又因为ab,ef,所以abef,因为abac=a,所以ef面abdc,又因为bd面abdc,所以bdef,故正确;:由可知,若bdef成立,则有ef面abdc,则有efac成立,而ac与,所成角相等是无法得到efac的,故错误;:由ac与cd在内的射影在同一条直线上可知efac,由可知正确;:仿照的分析过程可知错误.答案:7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的余弦值为_.【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意rl=3r2,即l=3r,母线与底面夹角为,则cos =.答案:8.如图,pa圆o所在的平面,ab是圆o的直径,c是圆o上的一点,e,f分别是点a在pb,pc上的射影,给出下列结论:afpb;efpb;afbc;ae平面pbc.其中正确结论的序号是_.【解析】由题意知pa平面abc,所以pabc.又acbc,且paac=a,所以bc平面pac,所以bcaf.因为afpc,且bcpc=c,所以af平面pbc,所以afpb,又aepb,aeaf=a,所以pb平面aef,所以pbef.故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,四棱锥p-abcd的底面是正方形,pa底面abcd,pa=ad=2,点m,n分别在棱pd,pc上,且pc平面amn.(1)求证:ampd.(2)求直线cd与平面amn所成角的正弦值.【解析】(1)因为四边形abcd是正方形,所以cdad.又因为pa底面abcd,所以pacd,故cd平面pad.又am平面pad,则cdam,而pc平面amn,有pcam,则am平面pcd,故ampd.(2)延长nm,cd交于点e,因为pc平面amn,所以ne为ce在平面amn内的射影,故cen为cd(即ce)与平面amn所成的角,又因为cdpd,enpn,则有cen=mpn,在rtpmn中,sinmpn=,故cd与平面amn所成角的正弦值为.10.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设bc的中点为m,gh的中点为n. (1)请将字母f,g,h标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由).(2)证明:直线mn平面bdh.(3)求二面角a-eg-m的余弦值.【解析】(1)点f,g,h的位置如图所示.(2)连接bd,hf,设o为bd的中点,连接oh,om,mn.因为m,n分别是bc,gh的中点,所以omcd,且om=cd,nhcd,且nh=cd,所以omnh,om=nh,所以四边形mnho是平行四边形,从而mnoh,又mn平面bdh,oh平面bdh,所以mn平面bdh.(3)连接ac,em,过m作mpac于点p.在正方体abcd-efgh中,aceg,所以mpeg.过p作pkeg于点k,连接km,所以eg平面pkm,从而kmeg.所以pkm是二面角a-eg-m的平面角.设ad=2,则cm=1,pk=2,在rtcmp中,pm=cmsin 45=.在rtkmp中,km=.所以cospkm=.即二面角a-eg-m的余弦值为.1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是()a.若m,n,则mnb.若m,n,则mnc.若m,mn,则nd.若m,mn,则n【解析】选b.选项a.若m,n则m与n可能平行、相交、异面,故a错误;b.若m,n,则mn,显然成立;c.若m,mn,则n或n,故c错误;d.若m,mn,则n或n或n与相交.2.(5分)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,点o为线段bd的中点.设点p在线段cc1上,直线op与平面a1bd所成的角为,则sin 的取值范围是()a.b.c.d.【解析】选b.设正方体的棱长为1,则a1c1=,a1c=,a1o=oc1= =,oc=,所以cosa1oc1=,sina1oc1=,cosa1oc=-,sina1oc=,又直线与平面所成的角小于等于90,而a1oc为钝角,所以sin 的范围为.3.(5分)(2018郴州模拟)如图,矩形abcd中,ab=2ad,e为边ab的中点,将ade沿直线de翻转成a1de(a1平面abcd).若m,o分别为线段a1c,de的中点,则在ade翻转过程中,下列说法错误的是()a.与平面a1de垂直的直线必与直线bm垂直b.异面直线bm与a1e所成角是定值c.一定存在某个位置,使demod.三棱锥a1-ade外接球半径与棱ad的长之比为定值【解析】选c.取cd的中点f,连接bf,mf,如图1,可知平面mbf平面a1de,所以bm平面a1de,所以a正确.取a1d中点g,可得egbm,如图2,所以b正确.由题意可得点a关于直线de的对称点为f,则de平面a1af,即过o与de垂直的直线在平面a1af内,而m不在平面a1af内,故c错误.三棱锥a1-ade外接球的球心即为o点,所以外接球半径为ad,故d正确.4.(12分)如图,菱形abcd与四边形bdef相交于bd,abc=120,bf平面abcd,debf,bf=2de,affc,m为cf的中点,acbd=g.(1)求证:gm平面cde.(2)求证:平面ace平面acf.【证明】(1)取bc的中点n,连接gn,mn.因为g为菱形对角线的交点,所以g为bd的中点,所以gncd,又因为m,n分别为fc,bc的中点,所以mnfb,又因为debf,所以demn,又mngn=n,decd=d,所以平面gmn平面cde,又gm平面gmn,所以gm平面cde.(2)连接ge,gf,因为四边形abcd为菱形,所以ab=bc,又bf平面abcd,所以af=cf,因为af=fc,所以fgac.设菱形的边长为2,abc=120,则gb=gd= 1,ga=gc=,又因为affc,所以fg=ga=,则bf=,de=,且bf平面abcd,debf,得de平面abcd,在直角三角形ged中,ge=,又在直角梯形bdef中,得ef=,从而ef2=gf2+ge2,所以fgge,又acge=g,所以fg平面ace,又fg平面acf,所以平面ace平面acf.5.(13分)如图,四边形abcd是矩形,ab=,bc=1,de=2ec,pe平面abcd,pe=.(1)求证:acpb.(2)求二面角a-pb-c的正切值.【解析】(1)连接be交ac于点f,因为四边形abcd是矩形,ab=,bc=1,de=2ec.所以ce=,所以=.因为abc=bcd=,所以abcbce,bec=acb.因为bec+ace=acb+ace=,所以acbe.因为pe平面abcd,所以acpe.因为pebe=e,所以ac平面pbe.所以acpb.(2)取pb中点g,连接fg,