2.5－1抛物线的标准方程（1）.ppt

2 4 1抛物线及其标准方程 喷泉 篮球在空中运行的轨迹是什么 复习回顾 我们知道 椭圆 双曲线的有共同的几何特征 都可以看作是 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 2 当e 1时 是双曲线 1 当0 e 1时 是椭圆 其中定点不在定直线上 那么 当e 1时 它又是什么曲线 如图 点是定点 是不经过点的定直线 是上任意一点 过点h作 线段fh的垂直平分线m交mh于点m 拖动点h 观察点m的轨迹 你能发现点m满足的几何条件吗 提出问题 几何画板观察 问题探究 当e 1时 即 mf mh 点m的轨迹是什么 探究 可以发现 点m随着h运动的过程中 始终有 mf mh 即点m与点f和定直线l的距离相等 点m生成的轨迹是曲线c的形状 如图 我们把这样的一条曲线叫做抛物线 在平面内 与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点f叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 mf d d为m到l的距离 准线 焦点 d 一 抛物线的定义 1 以l为y轴 过点f垂直于l的直线为x轴 2 以定点f为原点 过点f垂直于l的直线为x轴 l为y轴 3 以过f且垂直于l的直线为x轴 垂足为k 以f k的中点o为坐标原点建立直角坐标系xoy 三 标准方程 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 焦点坐标是 准线方程为 想一想 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 p的意义 抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点 1 左边是二次式 2 右边是一次式 决定了焦点的位置 四 四种抛物线的对比 y2 6x y 6x2 2 已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 例1 1 说出抛物线的焦点坐标和准线方程 练习1 求抛物线的焦点坐标和准线方程 思考 二次函数的图像为什么是抛物线 当a 0时与当a 0时 结论都为 例2 求过点a 3 2 的抛物线的标准方程 练习2 根据下列条件 写出抛物线的标准方程 1 焦点是f 3 0 3 焦点到准线的距离是2 y2 12x y2 x y2 4x或y2 4xx2 4y或x2 4y 2 准线方程是x 1 抛物线的定义 2 抛物线的标准方程 f m l n 小结 焦点在x轴上 焦点在y轴上 准线 准线 思考 m是抛物线y2 2px p 0 上一点 若点m的横坐标为x0 则点m到焦点的距离是 若换成其他三种形式呢 解法一 以为轴 过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系 如下图所示 则定点设动点点 由抛物线定义得 化简得 二 标准方程的推导 解法二 以定点为原点 过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系 如下图所示 则定点 的方程为 设动点 由抛物线定义得 化简得 二 标准方程的推导 l 解法三 以过f且垂直于l的直线为x轴 垂足为k