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文档简介

数列 数学归纳法与极限 专题五 第3课时数列的应用 数学归纳法与极限 1 数列的应用 1 数列与函数的联系 联想特殊函数模型 类比其性质求解 2 数列与不等式的联系 证不等式的方法 比较 综合 分析 放缩 数学归纳法等 3 数列与解析几何的联系 运用曲线的几何性质 借助坐标及方程思想 找出规律 转化数列通项 从而解决相关问题 4 数列在实际生活中的应用 审题 明确数列模型 引入参数 将文字语言译成数学语言 变成数学问题 解此类问题要检验合理性 2 数学归纳法 1 数学归纳法需要完成两个步骤的证明 缺一不可 第一步有时要验证从n0开始的多个正整数命题成立 这主要取决于从k到k 1的奠基是什么数 如果假设当n k时命题成立 并要求当k m时才能得出n k 1时命题也成立 则第一步必须验证从n0到m的各个正整数命题都成立 另外 第二步的证明必须运用 归纳假设 2 运用观察 归纳 猜想求数列的通项公式时 必须对猜想的结论进行推证 一般采用数学归纳法证明 3 求数列极限的基本思路 先将表达式作适当变形使得各部分的极限都存在 且分母的极限不为0 再运用法则求解 对于项数与n相关的和 或积 的极限 应先求和 或积 再求极限 例如 考点1数列与函数的综合项 评析 这是一道函数与数列的综合题 也是一道开放性题目 应先求反函数的表达式 再由题意找出递推式 要确定数列 bn 中某项满足条件 一般的思路是考虑数列的单调性 考点2数学归纳法求数列通项 评析 本题主要考查等差数列 等比数列 数学归纳法 不等式等基础知识 综合运用数学知识进行归纳 总结 推理 论证等能力 例3 现有装着5个红球 3个白球的红箱和装着3个红球 5个白球的白箱各一个 两种颜色的球大小完全一样 第一次从红箱中取出1个球后再放回 第二次从与第一次取出的球相同颜色的箱中取出1个球后再放回 照这样 第k 1次从与第k次取出的球相同颜色的箱中取出1个再放回 令pn为第n次取出的球是红球的概率 求 1 求p1 p2 p3的值 2 用pn 1表示pn 3 考点3数列与极限 变式题 已知数轴上的点p1的坐标为0 点p2的坐标为80 点p3为p1p2的中点 点p4为p2p3的中点 p3 p4它们对应的坐标分别为x3 x4 pn为pn 2pn 1的中点 对应的坐标为xn 求 解析 由已知条件易知 xn 的递推公式为即2xn xn 1 xn 2 构造等比数列 2 xn xn 1 xn 1 xn 2 所以数列 xn xn 1 是以x2 x1 80为首项 以为公比的等比数列 所以 所以即即所以 评价 不能误认为 2xn xn 1 xn 2 则 xn 为等差数列 评价 这是一道数列与解析几何结合的综合题 涉及到的知识较多 有椭圆的相关
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