切比雪夫FIR滤波器的设计.doc

课程设计 题题 目目 MatlabMatlab 课程设计课程设计 利用利用 MATLABMATLAB 结合双线性变换法设计一个数字结合双线性变换法设计一个数字 切比雪夫高通切比雪夫高通 IIRIIR 滤波器滤波器 学学 院院 专专 业业 班班 级级 姓姓 名名 指导教师指导教师 学号 0120909320309 2011 年 11 月28 日 武汉理工大学 Matlab 课程设计 报告 课程设计任务书课程设计任务书 学生姓名 学生姓名 专业班级 专业班级 信息 SY0901 指导教师 指导教师 工作单位 工作单位 信息工程学院 题题 目目 Matlab 课程设计 利用 MATLAB 仿真软件系统结合双线性变换法设计一 个数字切比雪夫高通 IIR 滤波器 初始条件 初始条件 Matlab 基础知识 计算机 要求完成的主要任务要求完成的主要任务 1 方案的理论设计 2 方案的安装 调试 3 设计报告的撰写 时间安排 时间安排 序号序号阶段内容阶段内容所需时间所需时间 1方案设计1 天 2电路安装调试2 天 3撰写报告1 天 4答辩1 天 合 计5 天 指导教师签名 指导教师签名 20112011 年年 1212 月月 1515 日日 系主任 或责任教师 签名 系主任 或责任教师 签名 20112011 年年 月月 日日 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 I 目录目录 摘 要 II ABSTRACT III 1 数字滤波器 1 1 1 数字滤波器介绍 1 1 2 IIR 数字滤波器设计原理 3 1 2 1切比雪夫滤波器 4 1 2 2双线性变换法 6 2 数字滤波器设计实现 10 2 设计步骤 10 2 2 程序流程图 12 2 3MATLAB 程序 13 2 仿真结果 16 2 4 1滤波器性能仿真 16 2 4 2滤波器性能验证 19 3 总结 20 参考文献 21 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 II 摘摘 要要 随着信息时代和数字世界的到来 数字信号处理已成为当今一门极其重要 的学科和技术领域 目前数字信号处理在通信 语音 图像 自动控制 雷达 军事 航空航天 医疗和家用电器等众多领域得到了广泛的应用 在数字信号 处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是数字滤波器 DF Digital Filter 数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统 通过对抽样数据进行数 学处理来达到频域滤波的目的 MATLAB 是英文 MATrix LABoratory 矩阵实验室 的缩写 它是美国的 MathWorks 公司推出的一套用于科学计算和图形处理可视化 高性能语言与软 件环境 它的信号处理工具箱包含了各种经典的和现代的数字信号处理技术 是一个非常优秀的算法研究与辅助设计的工具 在设计数字滤波器时 通常采 用 MATLAB 来进行辅助设计和仿真 本次基础强化训练将完成一个数字切比雪夫带通 IIR 滤波器的设计 利用 双线性变换和无限冲激响应 IIR 原理完成设计 并利用 MATLAB 进行仿真 关键字 数字信号处理 数字滤波器 切比雪夫 双线性变换 MATLAB 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 III Abstract With the information age and the advent of the digital world digital signal processing has become an extremely important disciplines and technical fields Current digital signal processing in communications voice image automatic control radar military aerospace medical and household appliances and many other fields has been widely used In digital signal processing plays an important role and has been widely used in digital filters DF Digital Filter Digital filter is a time discrete signal is used to filter digital system through the mathematical treatment of the sample data to achieve the frequency domain filtering purposes MATLAB is in English MATrix LABoratory Matrix Laboratory acronym It is the United States MathWorks has introduced a set of computing and graphics processing for scientific visualization high performance language and software environment Its signal processing toolbox contains a variety of classic and modern digital signal processing technology is a very good algorithm research and aided design tools In the design of digital filters it is usually carried out using MATLAB aided design and simulation The basis of intensive training will be completed a number of Chebyshev band pass IIR filter design using bilinear transform and infinite impulse response IIR principle of the completion of design and simulation using MATLAB Keywords Digital signal processing digital filters Chebyshev bilinear transform MATLAB 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 1 1 数字滤波器数字滤波器 1 1 数字滤波器介绍数字滤波器介绍 数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置 其输入 输出均 为数字信号 实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统 它的基 本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换 改变输入序列 的频谱或信号波形 让有用频率的信号分量通过 抑制无用的信号分量输出 数 字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念 根据其频率响应特性可分为低通 高通 带通 带阻等类型 与模拟滤波器相比 数字滤波器除了具有数字信号处 理的固有优点外 还有滤波精度高 与系统字长有关 稳定性好 仅运行在 0 与 l 两个电平状态 灵活性强等优点 时域离散系统的频域特性 Y ejw X ejw H ejw 其中 Y ejw X ejw 分别是数字滤 波器的输出序列和输入序列的频域特性 或称为频谱特性 H ejw 是数字滤波 器的单位取样响应的频谱 又称为数字滤波器的频域响应 输入序列的频谱 X ejw 经过滤波后 X ejw H ejw 因此 只要按照输入信号频谱的特点和处理信号 的目的 适当选择 H ejw 使得滤波后的 X ejw H ejw 满足设计的要求 这就是 数字滤波器的滤波原理 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性 可分为两种 即无限长冲激 响应 IIR 数字滤波器和有限长冲激响应 FIR 数字滤波器 IIR 数字滤波器的 特征是 具有无限持续时间冲激响应 需要用递归模型来实现 其差分方程为 公式1 1 系统函数为 公式1 2 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 2 设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H z 使其频 率响应H z 满足所希望得到的频域指标 即符合给定的通带截止频率 阻带截 止频率 通带衰减系数和阻带衰减系数 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 3 频率 交换 冲激响应不变 法 双线性变换 冲激响应不变 法 双线性变换 1 2 IIR 数字滤波器设计原理数字滤波器设计原理 IIR数字滤波器是一种离散时间系统 其系统函数为 公式1 3 假设M N 当M N时 系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个 M N 的FIR子 系统的级联 IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ak和bk 它是 数学上的一种逼近问题 即在规定意义上 通常采用最小均方误差准则 去逼 近系统的特性 如果在S平面上去逼近 就得到模拟滤波器 如果在z平面上去 逼近 就得到数字滤波器 设计高通 带通 带阻等数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用 方法 方法 1 方法 2 图 1 1 数字滤波器设计的两种方法 方法 1 首先设计一个模拟原型低通滤波器 然后通过频率变换成所需要 的模拟高通 带通或带阻滤波器 最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应 的数字高通 带通或带阻滤波器 方法 2 先设计一个模拟原型低通滤波器 然后采用冲激响应不变法或双 线性变换法将它转换成数字原型低通滤波器 最后通过频率变换把数字原型低 通滤波器变换成所需要的数字高通 带通或带阻滤波器 方法一的缺点是 由于产生混叠是真 因此不能用冲激不变法来变换成高 通或阻带滤波器 故一般采用第二种方法进行设计 模拟原 型低通 数字高通 带 通和带阻 频率 数字原 型低通 交换 模拟高通 带 通和带阻 模拟原 型低通 模拟高通 带 通和带阻 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 4 本课程设计先构造一个切比雪夫模拟低通滤波器 然后将模拟低通滤波器 转换成模拟高通滤波器 最后利用双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字高 通滤波器 1 2 1 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器 目的 构造一个模拟低通滤波器 为了从模拟滤波器出发设计 IIR 数字滤波器 必须先设计一个满足技术指 标的模拟滤波器 亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标 因此 必须先设计对应的模拟原型滤波器 模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟 且有一些典型的模拟滤 波器供我们选择 如巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤 波器 椭圆 Cauer 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 这些典型的滤波器各有 特点 这里介绍切比雪夫滤波器 切比雪夫滤波器特点 误差值在规定的频段上等波纹变化 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的 如果阶次一定 则在靠 近截止 c处 幅度下降很多 或者说 为了使通带内的衰减足够小 需要的阶 次N很高 为了克服这一缺点 采用切比雪夫多项式来逼近所希望的 H j 2 切比雪夫滤波器的 H j 2在通带范围内是等幅起伏的 所以在同样的 通常内衰减要求下 其阶数较巴特沃兹滤波器要小 切比雪夫滤波器的振幅平方函数为 公式 1 4 式中 c为有效通带截止频率 表示与通带波纹有关的参量 值越大通 带不动愈大 VN x 是 N 阶切比雪夫多项式 定义为 公式 1 5 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 5 切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示 N 为偶数 cos2 N 2 1 得到 min 公式 1 6 N 为奇数 cos2 N 2 0 得到 max 公式 1 7 图 1 2 切比雪夫滤波器的振幅平方特性 有关参数的确定 a 通带截止频率 c预先给定 b 与通带波纹有关的参数 通带波纹表示成 公式 1 8 所以 10lg 1 2 2 100 1 1 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 6 给定通带波纹值 dB 分贝数后 可求得 2 阶数 N 由阻带的边界条件确定 A2为事先给定的边界条件 即在阻 带中的频率点处 s 要求滤波器频响衰减到 1 A2以上 公式 1 9 公式 1 10 公式 1 11 公式 1 12 因此 要求阻带边界频率处衰减越大 要求 N 也越大 参数 N c给定后 查阅有关模拟滤波器手册 就可求得系统函数 Ha s 1 2 2 双线性变换法双线性变换法 目的 将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真 这是因为从 S 平面 到 平面是多值的映射关系所造成的 为了克服这一缺点 可以采用非线性频 率压缩方法 将整个频率轴上的频率范围压缩到 T T之间 再用z esT 转换到 Z 平面上 也就是说 第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1平面的 T T一条横带里 第二步再通过标准变换关系z es1T将此横带变换到整 个Z平面上去 这样就使 S 平面与Z平面建立了一一对应的单值关系 消除了 多值变换性 也就消除了频谱混叠现象 映射关系如图 1 3 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 7 图 1 3 双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j 1 轴上的 T到 T段 上 可以通过以下的正切变换实现 公式 1 13 式中 T仍是采样间隔 当 1 由 T经过 0 变化到 T时 由 经过 0 变化到 也即映 射了整个 j 轴 将式 1 9 写成 公式 1 14 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面 令 j s j 1 s1 则得 公式 1 15 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z es1T 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为 公式 1 16 公式 1 17 式 1 10 与式 1 11 是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系 这种变 换都是两个线性函数之比 因此称为双线性变换 式 1 9 与式 1 10 的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求 首先 把z ej 可得 2 tan 2 1T T 2 2 2 2 11 11 2 TjTj TjTj ee ee T j Ts Ts TsTs TsTs e e T Ts Tee ee T s 1 1 11 11 1 12 2 tanh 22 1 2 2 2 2 1 1 1 12 z z T s s T s T s T s T z 2 2 2 1 2 1 o 11 Z jIm z Re z T j 1 1 T S1 S j oo 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 8 公式 1 18 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆 其次 将s j 代入式 1 12 得 因此 公式 1 19 由此看出 当 0 时 z 0 时 z 1 也就是说 S 平面的 左半平面映射到 Z 平面的单位圆内 S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆 外 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 因此 稳定的模拟滤波器经双线 性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的 双线性变换法优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比 其主要的优 点是避免了频率响应的混叠现象 这是因为 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应 关系 S 平面整个 j 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周 即频率轴是单值变 换关系 这个关系如式 1 12 所示 重写如下 公式 1 20 上式表明 S 平面上 与 Z 平面的 成非线性的正切关系 如图 1 4 所示 由图 1 4 看出 在零频率附近 模拟角频率 与数字频率 之间的变换 关系接近于线性关系 但当 进一步增加时 增长得越来越慢 最后当 时 终止在折叠频率 处 因而双线性变换就不会出现由于高频 部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象 从而消除了频率混叠现象 j T j e e T s j j 2 tan 2 1 12 j T j T z 2 2 2 2 2 2 2 2 T T z 2 tan 2 T 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 9 图 1 4 双线性变换法的频率变换关系 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的 如式 1 12 及图 1 4 所示 由于这种频率之间的非线性变换关系 就产生了新的 问题 首先 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数 字滤波器 不再保持原有的线性相位了 其次 这种非线性关系要求模拟滤波 器的幅频响应必须是分段常数型的 即某一频率段的幅频响应近似等于某一常 数 这正是一般典型的低通 高通 带通 带阻型滤波器的响应特性 不然变 换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变 如 图 1 5 所示 图 1 5 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器 双线性变换后 仍得到幅频特性为分段常数的滤 波器 但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变 这种频率的畸变 可以通 过频率的预畸来加以校正 也就是将临界模拟频率事先加以畸变 然后经变换 后正好映射到所需要的数字频率上 o 2 tan 2 T o o o j a H ej H o o o earg j H j arg a H 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 10 2 数字滤波器设计实现数字滤波器设计实现 2 设计步骤设计步骤 根据以上 IIR 数字滤波器设计方法 下面运用双线性变换法基于 MATLAB 设 计一个 IIR 高通滤波器 通带截止频率 wp 0 6 通带最大衰减 Ap 1dB 阻带最 小衰减 As 20dB 阻带截止频率 ws 0 4 采样频率 fT 1000Hz 1 确定性能指标 在设计高通滤波器之前 首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标 通带截止频率 wp 0 6 阻带截止频率 ws 0 4 阻带最小衰减 As 20dB 和通 带最大衰减 Ap 1dB 2 频率预畸变 用 2 T tan w 2 对高通数字滤波器 H z 的数字边界频率预畸变 得到高 通模拟滤波器 H s 的边界频率主要是通带截止频率 Wp 和阻带截止频率 Ws 的转 换 双线性变换法中 T 1ms 通带截止频率 p 2 T tan wp 2 2 753 10 3 阻带截止频率 s 2 T tan ws 2 1 453 10 3 归一化频率为 Ap 1dB As 20dB1 p p p s s p 3 模拟高通性能指标转换成模拟低通性能指标 Ap 1dB As 20dB 1 1 p p 1 s s 10 10 1011 lg lg 2101 S p S N 由下式确定模拟高通滤波器的参数 11 11 11 11 H z H H c aL zz sp zz sp 4 模拟低通滤波器的构造 借助切比雪夫 Chebyshev 滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数 Ha s 5 模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器 调用 lp2hp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 11 6 模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器 利用双线性变换法将模拟高通滤波器 Ha s 转换成数字高通滤波器 H z 7 输入信号检验滤波器性能 输入不同频率的正弦波 观察输出波形 检验滤波器性能 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 12 2 2 程序流程图程序流程图 开始 读入数字滤波器技术指标 将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标 设计归一化的模拟低通滤波器阶数 N 和 3db 截止频率 模拟域频率变换 将 G P 变换成模拟高通滤波器 H s 用双线性变换法将 H s 转换成数字高通滤波器 H z 输入信号后显示相关结果 图 2 1 程序流程图 结束 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 13 2 3MATLAB 程序程序 1 数字滤波器部分 fp 300 fs 200 Rp 1 通带最大衰减Rp 1dB Rs 20 阻带最小衰减Rs 20dB wp fp 2 pi 把数字域滤波器特征换成模拟滤波器 特征 ws fs 2 pi FS 1000 T 1 FS 归一化数字频率 Wp wp FS Ws ws FS 频率预畸变 数字域频率 wp2 2 tan Wp 2 T 预畸变求滤波器通带临界频率 ws2 2 tan Ws 2 T 预畸变求滤波器阻带临界频率 设计模拟滤波器 N Wn cheb1ord wp2 ws2 Rp Rs s z p k cheb1ap N Rp 创建cheb1ord低通滤波器原型 Bap Aap zp2tf z p k 由零极点转换为传递函数的形式 figure 1 freqs Bap Aap 模拟低通滤波器的频率响应 title 原形低通模拟滤波器的频率响应 Bbs Abs lp2hp Bap Aap Wn 模拟低通变高通 figure 2 freqs Bbs Abs title 模拟滤波器的频率响应 用双线性变换法变换成数字滤波器 Bbz Abz bilinear Bbs Abs FS 双线性变换 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 14 求其频率响应 figure 3 freqz Bbz Abz 512 FS title 数字滤波器的频率响应 详细显示数字滤波器的幅频响应 hw w freqz Bbz Abz 512 figure 4 plot w pi 20 log10 abs hw grid axis 0 1 200 10 title 数字切比雪夫高通滤波器 xlabel w pi ylabel 幅度 dB 结果仿真 wp 0 6 pi ws 0 4 pi OmegaP 2 1000 tan wp 2 OmegaS 2 1000 tan ws 2 lamdas OmegaP OmegaS N 0 5 log10 10 20 10 1 10 1 10 1 log10 lamdas 算得N 3 6947 故取N 4 计算高通的传递函数 Wn 4 8890e 003 az 0 0 0 0 1 bz 1 2 613 3 414 2 613 1 Bbs Abs lp2hp az bz Wn 用双线性变换法处理 Bbz Abz bilinear Bbs Abs 1000 画图 hw w freqz Bbz Abz 512 figure 5 plot w pi 20 log10 abs hw grid axis 0 1 200 10 set gca XTickMode manual XTick 0 Ws pi Wp pi 1 grid set gca YTickMode manual YTick 200 Rs Rp 10 grid title 理论计算的滤波器的幅频响应 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 15 xlabel w pi ylabel 幅度 dB 2 输入正弦波检验性能部分 输入正弦波波验证滤波器特性 n 0 600 t n 11000 x1 2 sin 2 pi 2750 t 正弦波信号 figure subplot 121 plot x1 grid on 500Hz 正弦波波形 axis 0 10 pi 5 5 xlabel t s ylabel x1 title 正弦波信号 y1 filter Bbz Abz x1 数字滤波函数输出 subplot 122 plot y1 grid on 数字滤波器输出波形 axis 0 10 pi 3 3 xlabel f hz ylabel y title 数字滤波器输出波形 注 应输入一系列不同频率的正弦波进行验证 只需将 x1 2 sin 2 pi 2750 t 中 的 2750 频率值改变即可 这里取 500HZ 2750HZ 和 5000HZ 进行验证 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 16 2 仿真结果 仿真结果 2 4 1 滤波器性能仿真滤波器性能仿真 源程序设计了模拟低通滤波器 模拟高通滤波器与数字高通滤波器等滤波器 对各部分滤波器的性能仿真如下 下面五个图分别为模拟低通原型滤波器频率 特性曲线 图 2 2 模拟滤波器特性曲线 图 2 3 数字高通滤波器幅频响应 曲线 图 2 4 数字切比雪夫高通滤波器 图 2 5 理论计算的幅频响应 图 2 6 可以看到各部分滤波器波形基本满足设计要求 10 2 10 1 10 0 10 1 200 100 0 100 200 Frequency rad s Phase degrees 10 2 10 1 10 0 10 1 10 4 10 2 10 0 Frequency rad s Magnitude 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 图 2 2 模拟低通原型滤波器幅频特性曲线 武汉理工大学 MATLAB 课程设计 报告 17 10 2 10 0 10 2 10 4 200 100 0 100 200 Frequency rad s Phase degrees 10 2 10 0 10 2 10 4 10 15 10 10 10 5 10 0 Frequency rad s Magnitude 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 图 2 3 模拟滤波器特性曲线 050100150200250300350400450500 400 300 200 100 0 Frequency Hz Phase degrees 050100150200250300350400450500 400 300 200 100 0 Frequency Hz Magnitude dB 低 低 低 低 低 低 低 低 低 低 图 2 4 数字滤波器幅频响应曲线 武汉理工大学 MATLAB 课程设计