高中数学 23解三角形的实际应用举例精品课件同步导学 北师大版必修5.ppt

3解三角形的实际应用举例 1 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 2 提高应用数学知识解决实际问题的能力 1 对解三角形实际应用的考查是本节的热点 2 本节内容多与实际问题中测量距离 高度 角度 面积等问题结合考查 3 各种题型均可出现 以中低档题为主 1 通过前面的学习 我们已经知道 在三角形的三条边和三个角共六个元素中 要知道三个 其中至少有一个边 才能解该三角形 按已知条件可分为四种情况 a b c 180 正弦定理 余弦定理 a b c 180 余弦定理 a b c 180 正弦定理 a b c 180 正弦定理或余弦定理 1 基线 1 定义 在测量上 根据需要适当确定的线段叫做基线 2 性质 在测量过程中 要根据实际需要选取合适的 使测量具有较高的 一般来说 基线越长 测量的精确度越 测量 基线长度 精确度 高 2 对实际应用问题中的一些名称 术语的含义的理解 1 坡角 坡向与水平方向的夹角 如图 2 仰角和俯角 在视线和水平线所成角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角 如图中b点的方位角为 3 正弦定理 余弦定理在实际测量中应用很广 主要学习它们在测量 等问题中的一些应用 距离 高度 角度 1 以下图示是表示北偏西135 的是 答案 c 2 甲 乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆 甲观测的仰角为50 乙观测的仰角为40 用d1 d2分别表示甲 乙两人离旗杆的距离 那么有 a d1 d2b d1 d2c d1 20md d2 20m 答案 b 3 如下图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于akm 灯塔a在观察站c的北偏东20 灯塔b在观察站c的南偏东40 则灯塔a与灯塔b的距离为 4 如图 海上有a b c三个小岛 其中a b两个小岛相距10nmile从a岛望c岛和b岛成45 的视角 从b岛望c岛和a岛成75 的视角 则bc的距离为 nmile 一商船行至索马里海域时 遭到海盗的追击 随即发出求救信号 正在该海域执行护航任务的海军 黄山 舰在a处获悉后 即测出该商船在方位角为45 距离10海里的c处 并沿方位角为105 的方向 以9海里 时的速度航行 黄山 舰立即以21海里 时的速度前去营救 求 黄山 舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程 解题过程 题后感悟 1 将追及问题转化为三角形问题 即可把实际问题转化为数学问题 这样借助于正弦定理或余弦定理 就容易解决问题了 最后要把数学问题还原到实际问题中去 2 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题 从而运用正弦定理去解决 3 测量两个不可到达的点之间的距离问题 一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题 然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题 然后运用正弦定理解决 如图所示 a b是水平面上的两个点 相距800m 在a点测得山顶c的仰角为45 bad 120 又在b点测得 abd 45 其中d点是点c到水平面的垂足 求山高cd 题后感悟 解决测量高度问题的一般步骤是 2 在某一山顶观测山下两村庄a b 测得a的俯角为30 b的俯角为40 观测a b两村庄的视角为50 已知a b在同一海平面上且相距1000米 求山的高度 精确到1米 sin40 0 643 答 山高约为643m 画出示意图 在三角形中利用正 余弦定理求有关角度进而解决问题 解题过程 60 30 90 180 d位于a的正北方向 又 adc 45 台风移动的方向为北偏西45 方向 答 台风向北偏西45 方向移动 题后感悟 在充分理解题意的基础上画出大致图形 由问题中的有关量提炼出三角形中的元素 用余弦定理 勾股定理解三角形 2 解三角形应用题的步骤 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解应用题中的有关名词和术语 画出示意图 并将已知条件在图形中标出 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形 通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解 并作答 注意 在解题时要注意公式的选择 使解题过程尽可能简化 尽量避免讨论 为了测量某城市电视塔的高度 在一条直线上选择了a b c三点 使ab bc 60m 在a b c三点观察塔的最高点d 测