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文档简介

几种特殊类型函数的积分 一 有理函数的积分 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 这有理函数是假分式 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 例 难点 将有理函数化为部分分式之和 1 分母中若有因式 则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 注 关于部分分式分解 例如 但若 矛盾 特殊地 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将值代入 例2 例3 整理得 例4求积分 解 例5求积分 解 例6求积分 解 令 说明 将有理函数化为部分分式之和后 只出现三类情况 多项式 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数 注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法 但对一个具体问题而言 未必是最简捷的方法 应首先考虑用其它的简便方法 基本思路 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之 一般记为 二 三角函数有理式的积分 万能置换公式 例7求积分 解 由万能置换公式 例8求积分 解 一 解 二 修改万能置换公式 令 解 三 可以不用万能置换公式 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换 如 若用万能代换 则 化部分分式比较困难 但若是凑微分 则比较简单 基本思路 例9求积分 解 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号 例10求积分 解 三 简单无理函数的积分 例11求积分 解令 说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 例12求积分 解 先对分母进行有理化 原式 例13 解一 令 解二 令 简单无理式的积分 有理式分解成部分分式之和的积分 注意 必须化成真分式 三角有理式的积分 万能置换公式 注意 万能公式并不万能 四 小结 思
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