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数字图像处理 桂林电子工业学院计算机系可视化与图形中心 第五章频域滤波 基础 5 1频率 频域的基本概念5 2傅立叶变换介绍5 3图像频域滤波基本步骤 5 1频率 频域的基本概念 要解决的问题 什么是频域 FrequencyDomain 什么是频率什么是空域 SpatialDomain 频域和空域之间的关系为什么要研究频域滤波 5 1频率 频域的基本概念 什么是频率 一般意义上的理解 一件事情出现的频繁程度在数学上 尤其是信号处理中 的定义 其中的f指的就是频率 它的物理意义是正弦曲线在1秒钟之内出现了多少个周期 单位为Hz 5 1频率 频域的基本概念 一条正弦曲线由三个参数来完全确定 A 幅度f 频率 相位 5 1频率 频域的基本概念 频率f对正弦曲线形状的影响下图中 由上至下频率分别为1Hz 4Hz 20Hz 5 1频率 频域的基本概念 相位对正弦曲线形状的影响下图中 由上至下相位分别为0 PI 4 PI 4 5 1频率 频域的基本概念 如果我们以频率为横轴 分别以幅度和相位为纵轴 那么对每一条正弦曲线我们都可以用下面的两个图来表示 5 1频率 频域的基本概念 对于上面的两个图 一个叫做幅度图 一个叫做相位图我们可以从图中得出它代表的正弦曲线的表达式 5 1频率 频域的基本概念 由傅立叶级数 变换 理论我们可以知道 绝大部分函数 或者信号 可以表示成一系列正弦信号的和有了这个理论 我们就可以建立起频域的概念了下面先举一个简单的例子 来阐述概念 5 1频率 频域的基本概念 假设我们有一个函数 或者叫信号 那么由傅立叶变换理论 我们可以通过求傅立叶级数的手段 来将它表示成一系列正弦信号的和再将这些正弦信号画在幅度图中 此处相位图全为0 略去不画 5 1频率 频域的基本概念 5 1频率 频域的基本概念 通过这种手段 我们可以将任意一个信号f x 表示在幅度图和相位图中幅度图反映了信号f x 中包含的不同频率的正弦曲线的强度相位图反映了信号f x 中包含的不同频率的正弦曲线的时间延迟至此为止 我们已经得到了一个信号的两种不同的表达形式 5 1频率 频域的基本概念 一种表达形式就是我们普遍使用的y f x 这种形式 在信号处理中 横轴往往用时间t来表示 所以一般是y f t 它反映了信号随时间的变化 这种表达形式我们叫做信号的时域表达 两维情况下叫做空域表达 第二种表达形式就是我们刚刚讲到的用幅度图和相位图来表示 横轴用的都是频率 而纵轴分别表示了幅度和相位随频率的变化情况 这种表达形式我们叫做信号的频域表达 5 1频率 频域的基本概念 信号的两种表达形式是可以互相推出的 也就是说知道了其中的一种表达形式 就可以算出另外一种表达形式时域 频域 傅立叶变换 频域 时域 逆傅立叶变换 5 1频率 频域的基本概念 信号的时域表达或者空域表达是我们平常用的最多 也是我们感觉最为直观的一种形式 那我们为什么还要引入频域表达这种形式呢 频域表达在处理信号的时候有着很多不可比拟的优势 可以对频率进行选择性地处理 5 1频率 频域的基本概念 5 1频率 频域的基本概念 频域滤波的概念像上图那样 为了达到某些特殊的目的 在频域里面对信号进行处理 只让某些频率的信号通过 而把其它频率的信号阻止 这种处理过程就叫做频域滤波 5 2傅立叶变换介绍 我们必须有一种方法 能够在时域表达式和频域表达式之间进行转换所幸的是 傅立叶变换给我们提供了这样的工具 可以由时域表达式f t 求出频域表达式F f 也可以由频域表达式F f 求出时域表达式f t 由法国数学家Fourier于1807年首次提出 后来于1822年发表在其著作 TheAnalyticTheoryofHeat 中 在55年之后 人们才意识到它的价值 被Freeman翻译成英文 后来得到了广泛的应用 5 2傅立叶变换介绍 傅立叶变换的数学公式 正向变换 由时域到频域 反向变换 由频域到时域 5 2傅立叶变换介绍 傅立叶变换的四种形式 时域连续 周期 频域离散 傅立叶级数 时域连续 非周期 频域连续 傅立叶变换 时域离散 周期 频域离散 周期 离散傅立叶变换 时域离散 非周期 频域周期 采样信号的傅立叶变换 5 2傅立叶变换介绍 电脑所能够处理的 只能是时域和频域都离散的信号 也即离散傅立叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 正向DFT 反向DFT 5 2傅立叶变换介绍 对于上面所给出的DFT的公式 我们已经可以编程实现 但是当N比较大的时候 运算量非常大为了快速地计算DFT 可以采用快速傅立叶变换 FastFourierTransform FFT 可以在很短的时间内得到DFT的计算结果我们只需会使用FFT来对图像进行处理即可 不需了解其详细实现但是对DFT的性质必须有所了解 才能有效地使用频域处理方法 5 2傅立叶变换介绍 采样定理 对于一个带宽受限的信号 假设其最大频率为fmax 那么我们必须用2fmax的采样频率去对此信号采样 才能无失真地恢复原信号 也即 5 2傅立叶变换介绍 有了采样定理的知识 我们才能更好地理解DFT的输出所代表的意义DFT的输出中 只有一半的频率是有用的 其它的一半跟另外一半相同DFT的输出的排列DFT的输出如果想按照频率由负到正自然排列 必须对输入信号作预处理 乘以 1 tFFT算法一般要求N为2的整数次方 这样必须对输入信号补0 补0的影响如何 5 2傅立叶变换介绍 对于图像处理来讲 我们必须处理二维信号f x y 所以必须计算二维离散傅立叶变换 正向二维DFT 反向二维DFT 5 2傅立叶变换介绍 同样的 为了提高运算速度 我们必须使用二维的FFT来在电脑上计算二维DFT有现成的程序供我们使用 因此不必了解二维FFT的细节 只需会调用其函数即可 并且要了解二维DFT计算出来的输出所代表的含义 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5 2傅立叶变换介绍 5