大学高等数学ppt课件第六章2矩阵及其运算.ppt

克莱姆法则 矩阵及其运算 如果线性方程组 的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解 行列式的应用 Crammer法则 1 证明 例1用Cramer法则求解线性方程组 解系数行列式为 所以 小结 Crammer法则的使用有极大的局限性 1 Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组 2 Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解 即如果方程个数与未知数个数不相等 或系数行列式等于零 则Crammer法则失效 3 计算量大 要计算n 1个n阶行列式的值 如何解决这些问题呢 留待第七章解决 齐次线性方程组 常数项全为零的线性方程组 称为齐次线性方程组 这样的方程组一定有解 至少有零解 根据Crammer法则 当系数行列式D 0时 齐次线性方程组只有唯一的零解 否则 当系数行列式D 0时 齐次线性方程组有非零解 无穷多个 例2当k为何值时 下面的方程组只有零解 解因为系数方程组的行列式为 所以当k 5且k 1时 原方程组只有零解 例3当 为何值时 下面的方程组有非零解 解因为系数方程组的行列式为 所以当 1或 0时 原方程组有非零解 用加减消元法求解二元一次方程组 得 得 矩阵的引入 可见 在求解方程组的过程中 只有方程组的系数和常数项进行运算 未知量只是进行同类项的合并 在日常生活中 我们也经常关心一些数表 如价格表 股票行情表 财务报表等等 这些重要的 矩形数表 在数学学科中 则可用矩阵来表示 矩阵的定义 见书P233定义1 矩阵的一般形式如下 矩阵的概念 称为方程组的增广矩阵 称为方程组的系数矩阵 设有线性方程组 线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系 行矩阵 行向量 只有一行的矩阵 等 列矩阵 列向量 只有一列的矩阵 等 几种特殊形式的矩阵 等 零矩阵 所有元素都为零的矩阵 简记作 方阵 行数和列数相等的矩阵 如 等 二阶方阵 三阶方阵 n阶方阵 如 等 对角形矩阵 主对角线上的元素不全为零 其它的元素都为0的方阵 简记作 单位矩阵 主对角线上的元素都是1的对角形矩阵 简记作 如 等 上三角形矩阵 主对角线下方元素全为零 上方的元素不全为0的方阵 如 等 下三角形矩阵 主对角线上方的元素全为零 下方的元素不全为0的方阵 同型矩阵 有相同的行数与相同的列数的两个矩阵 称为同型矩阵 如 只有矩阵与矩阵同型 注意 同型是相等的必要条件 相等矩阵 若两矩阵同型且对应位置上的元素相等 则称相等 记作 如 关系式 矩阵的基本运算及性质 1 交换律A B B A 2 结合律 A B C A B C 矩阵的加法 见P234定义2 矩阵加法的运算规律 注意 只有同型矩阵才能相加 例 矩阵的减法 数乘矩阵 见教材P235定义3 如 注意 数乘矩阵时 矩阵的每一元素都要乘以常数K 等 数量矩阵 数乘矩阵的运算规律 设 求满足方程的 课堂练习 矩阵的乘法 见教材P235定义4 设 则 其中 左矩阵右矩阵A的列数B的行数 例如 无意义 AB存在 BA无意义 例题 计算下列各题 1 2 AB与BA不同型 3 4 5 6 2 当AB BA时 称A B为可交换矩阵 或称A B可交换 此时 A B必为同阶方阵 小结 8 7 矩阵的乘法运算不满足消去律 矩阵相乘的运算规律 一般地 或 若A是方阵 则乘积 有意义 记作 称为A的k次幂 1 2 3 4 5 性质 线性方程组的矩阵表示法 2 若记 则方程组 1 可记为 矩阵A的转置 见教材P237定义5 或 如 矩阵转置的运算规律 验证 4 式 答案 反对称矩阵 如果 则称矩阵A为反对称矩阵 对称矩阵 如果 则称矩阵A为对称矩阵 方阵的行列式 1 方阵的行列式 如 则 数表 数值 2 方阵的行列式的性质 矩阵运算的应用 1 两个商店 用行表示 三种商品 用列表示 在一月和二月的销售量分别表示为矩阵A和B 如要考察二月比一月的销售量增加了多少 应如何计算 结果如何 如要计算两个月的销售量之和 应如何计算 结果如何 2 毗邻的甲乙两城计划建造两类住宅 计划数量如矩阵A 两类住宅对三种构件的需求数量如矩阵B 制造各种构件需要三种原料的数量如矩阵C 试用适当的矩阵运算求 1 建造每类住宅所需各种原料的数量 2 甲 乙两城对三种构件的需求数量 3 甲 乙两城对三种原料的需求数量 答案 证明设A1j A2j Anj为方程组的系数矩阵第j列元素的代数余子式 依次用A1j A2j Anj乘以方程组的第一 第二 第n个方程 然后相加 则可得 3