广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校高三数学上学期第一次联考试卷 文（含解析）.doc

2015-2016学年广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集u=1，2，3，4，5，集合a=2，3，4，b=1，4，则（ua）b为（）a1b1，5c1，4d1，4，52若是z的共轭复数，且满足（1i）2=4+2i，则z=（）a1+2ib12ic1+2id12i3已知p、q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件4设等比数列an的公比q=，前n项和为sn，则=（）a5b7c8d155下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+）上为增函数的是（）ay=x22xby=x3cy=lndy=|x|+16已知双曲线的渐近线方程为y=x，焦点坐标为（，0），（，0），则双曲线方程为（）a=1b=1c=1d=17函数f（x）=sin（x+）（0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）a，0b0，c，d，8曲线y=lnx2x在点（1，2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）abc1d29在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）abcd110一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（）a +4b +6c2+4d2+611执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）a50b77c78d30612已知抛物线y2=x上一定点b（1，1）和两个动点p、q，当p在抛物线上运动时，bppq，则q点的纵坐标的取值范围是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知平面向量=（2，1），=（m，2），且，则3+2=14已知等差数列an满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6a7）=15设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为16已知定义在r上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x0，2时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：f（2）=0；x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在8，10单调递增；若方程f（x）=m在6，2上的两根为x1，x2，则x1+x2=8上述命题中所有正确命题的序号为三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分17已知abc的三内角a，b，c所对三边分别为a，b，c，且sin（a）=（1）求tana的值；（2）若abc的面积s=24，b=10，求a的值182015年7月16日，电影捉妖记上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：20，25），25，30），30，35），35，40），40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于25，30）和40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率19如图所示的长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为2的正方形，o为ac与bd的交点，bb1=，m是线段b1d1的中点（1）求证：bm平面d1ac；（2）求三棱锥d1ab1c的体积20已知函数f（x）=经过点（0，3），且在该点处的切线与x轴平行（1）求a，b的值；（2）若x（t，t+2），其中t2，讨论函数y=f（x）的单调区间21已知椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切（1）求椭圆c的标准方程；（2）设点p（4，0），a，b是椭圆c上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结pb交椭圆c于另一点e，证明：直线ae与x轴相交于定点请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22已知abc中，ab=ac，d是abc外接圆劣弧上的点（不与点a，c重合），延长bd至e（1）求证：ad的延长线平分cde；（2）若bac=30，abc中bc边上的高为1+，求abc外接圆的面积选修4-4：坐标系与参数方程23（2015秋广州校级月考）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点o处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为：=，点p（2cos，2sin+2），参数0，2（1）求点p轨迹的直角坐标方程；（2）求点p到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲24（2014秋临川区校级期中）设函数f（x）=|xa|+3x，其中a0（1）当a=1时，求不等式f（x）3x+2的解集；（2）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值2015-2016学年广东省广州六中、广雅中学、执信中学等六校高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集u=1，2，3，4，5，集合a=2，3，4，b=1，4，则（ua）b为（）a1b1，5c1，4d1，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】由全集u=1，2，3，4，5，集合a=2，3，4先求出cua=1，5，再由b=1，4，能求出（cua）b【解答】解：全集u=1，2，3，4，5，集合a=2，3，4，cua=1，5，b=1，4，（cua）b=1，4，5故选：d【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2若是z的共轭复数，且满足（1i）2=4+2i，则z=（）a1+2ib12ic1+2id12i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可【解答】解： （1i）2=4+2i，可得（2i）=4+2i，可得=（2+i）i=1+2iz=12i故选：b【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力3已知p、q是简单命题，则“pq是真命题”是“p是假命题”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】规律型【分析】由pq为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由p是假命题，知p是真命题由此可知“pq是真命题”是“p是假命题”的充分不必要条件【解答】解：pq为真命题，p和q或者同时都是真命题，由p是假命题，知p是真命题“pq是真命题”推出“p是假命题”，反之不能推出则“pq是真命题”是“p是假命题”的充分而不必要条件故选a【点评】本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解4设等比数列an的公比q=，前n项和为sn，则=（）a5b7c8d15【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出【解答】解：s3=，a3=，=7故选：b【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+）上为增函数的是（）ay=x22xby=x3cy=lndy=|x|+1【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】逐一分析四个函数的奇偶性，单调性，判断是否满足既是偶函数又在（0，+）上为增函数，可得答案【解答】解：函数y=x22x为非奇非偶函数；函数y=x3为奇函数；函数y=ln的定义域为（1，1），函数y=|x|+1既是偶函数又在（0，+）上为增函数，故选：d【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答的关键6已知双曲线的渐近线方程为y=x，焦点坐标为（，0），（，0），则双曲线方程为（）a=1b=1c=1d=1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线的方程是，即又焦点坐标为（，0），（，0），故+2=6，由此可知=2，代入可得答案【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，设双曲线的方程是，即又焦点坐标为（，0），（，0），故+2=6，=2，双曲线方程为=1故选：c【点评】本题考查双曲线的性质和应用，正确设出方程是关键7函数f（x）=sin（x+）（0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）a，0b0，c，d，【考点】正弦函数的对称性【专题】三角函数的图像与性质【分析】由周期求得，再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间【解答】解：根据f（x）=sin（x+）（0）相邻两个对称中心的距离为，可得=，=2，f（x）=sin（2x+）令2k+2x+2k+，求得k+xk+，kz，故选：c【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的减区间，属于基础题8曲线y=lnx2x在点（1，2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（）abc1d2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解【解答】解：由题意得y=2，则在点m（1，2）处的切线斜率k=1，故切线方程为：y+2=（x1），即y=x1，令x=0得，y=1；令y=0得，x=1，切线与坐标轴围成三角形的面积s=，故选a【点评】试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力9在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）abcd1【考点】几何概型【专题】概率与统计【分析】根据题意，求出满足条件的点p所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可【解答】解：符合条件的点p落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，p=1故选：d【点评】本题考查了几何概型中的体积类型的应用问题，基本方法是：分别求得构成事件a的区域体积和试验的全部结果所构成的区域体积，两者求比值，即得概率10一个空间几何体的三视图如图，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是边长分别为1，2的矩形，则该几何体的侧面积为（）a +4b +6c2+4d2+6【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，其直观图如下图所示：则sad是边长为2的正三角形，其面积为：，ab平面sad，可得：sab是两直角边长为1和2的直角三角形，故sab的面积为1，同理，scd的面积也为1，又由sad的高so=，oe=ab=1，可得se=2，故sbc是底边长2，高为2的等腰三角形，故sbc的面积为2，综上所述，几何体的侧面积为+4，故选：a【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）a50b77c78d306【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的p的最小值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，输入p，s=0+2=2，n=2，sp，s=2+22=6，n=3，sp，s=6+23=2，n=4，sp，s=2+24=18，n=5，sp，s=18+25=14，n=6，sp，s=14+26=78，n=7，sp，s=78+27=50，n=8，sp，s=50+28=306，n=9，sp，终止循环，输出n=9；所以p的最小值为78故选：c【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目12已知抛物线y2=x上一定点b（1，1）和两个动点p、q，当p在抛物线上运动时，bppq，则q点的纵坐标的取值范围是（，13，+）【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先假设p，q的坐标，利用bppq，可得=0，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得q点的纵坐标的取值范围【解答】解：设p（t2，t），q（s2，s）bppq，=0，即（t21，t1）（s2t2，st）=0即t2+（s+1）t+s+1=0tr，p，q是抛物线上两个不同的点必须有=（s+1）24（s+1）0即s22s30，解得s3或s1q点的纵坐标的取值范围是（，13，+）故答案为：（，13，+）【点评】本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用=0构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13已知平面向量=（2，1），=（m，2），且，则3+2=（14，7）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】计算题；平面向量及应用【分析】根据平面向量平行的坐标表示，求出m的值，再计算3+2即可【解答】解：向量=（2，1），=（m，2），且，1m22=0，解得m=4，=（4，2）；3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）故答案为：（14，7）【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与向量平行和线性运算问题，是基础题目14已知等差数列an满足a1+a5+a9=24，则log2（2a6a7）=3【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质结合已知条件求得2a6a7=a5=8，由此利用对数性质能求出log2（2a6a7）的值【解答】解：等差数列an满足a1+a5+a9=24，a5=8，2a6a7=2（a1+5d）（a1+6d）=a1+4d=a5=8，log2（2a6a7）=log28=3故答案为：3【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用15设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为4【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得a（1，1），化目标函数z=3x+y为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为31+1=4故答案为：4【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16已知定义在r上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x0，2时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：f（2）=0；x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在8，10单调递增；若方程f（x）=m在6，2上的两根为x1，x2，则x1+x2=8上述命题中所有正确命题的序号为【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质【专题】计算题【分析】根据f（x）是定义在r上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=2可得f（2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论【解答】解：f（x）是定义在r上的偶函数，f（x）=f（x），可得f（2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=2得f（2）=f（2）+f（2），f（2）=f（2）=0，f（x+4）=f（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x0，2时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示从图中可以得出：x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；函数y=f（x）在8，10单调递减；若方程f（x）=m在6，2上的两根为x1，x2，则x1+x2=8故答案为：【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题三、解答题：第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分60分17已知abc的三内角a，b，c所对三边分别为a，b，c，且sin（a）=（1）求tana的值；（2）若abc的面积s=24，b=10，求a的值【考点】解三角形【专题】综合题；解三角形【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tana的值；（2）若abc的面积s=24，b=10，可求c，利用余弦定理求a的值【解答】解：（1）sin（a）=，（sinacosa）=，sinacosa=，sinacosa=，sina=，cosa=，tana=；（2）abc的面积s=24，b=10，24=，c=6，a=8【点评】本题考查差角的正弦公式、三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题182015年7月16日，电影捉妖记上映，上映至今全国累计票房已超过20亿，某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：20，25），25，30），30，35），35，40），40，45），根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示（1）根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；（2）现在从年龄属于25，30）和40，45）的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率【考点】频率分布直方图【专题】应用题；概率与统计【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率=，计算出对应的频率，补充完整频率分布直方图，再计算观看此部电影的观众年龄平均数即可；（2）求出年龄在25，30）和40，45）内的频率与频数，用列举法求出对应的基本事件数，计算概率即可【解答】解：（1）根据频率分布直方图，年龄在25，30）的频率为1（0.01+0.07+0.06+0.02）5=0.2，年龄在25，30）的小矩形的高为=0.04，补充画完整频率分布直方图如图所示，估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为22.50.015+27.50.045+32.50.075+37.50.065+42.50.025=33.5；（2）年龄在25，30）内的频率为0.2，对应的人数为200.2=4，记为a、b、c、d；年龄在40，45）内的频率为0.025=0.1，对应的人数为200.1=2，记为e、f；现从这6人中随机抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、ef，共15种，属于同一年龄组的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、ef，共7种，所以，所求的概率是p=【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目19如图所示的长方体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为2的正方形，o为ac与bd的交点，bb1=，m是线段b1d1的中点（1）求证：bm平面d1ac；（2）求三棱锥d1ab1c的体积【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；证明题【分析】（）由四边形d1obm是平行四边形得d1obm，由线面平行的判定得到bm平面d1ac（）由ob1d1o，acd1o，得到d1o平面ab1c，确定d1o为三棱锥d1ab1c的高，同时确定ab1c为底【解答】解：（）连接d1o，如图，o、m分别是bd、b1d1的中点，bd1d1b是矩形，四边形d1obm是平行四边形，d1obm（2分）d1o平面d1ac，bm平面d1ac，bm平面d1ac（4分）（）连接ob1，正方形abcd的边长为2，ob1=2，d1o=2，则ob12+d1o2=b1d12，ob1d1o（6分）又在长方体abcda1b1c1d1中，acbd，acd1d，且bdd1d=d，ac平面bdd1b1，又d1o平面bdd1b1，acd1o，又acob1=o，（10分）d1o平面ab1c，即d1o为三棱锥d1ab1c的高（12分），d1o=214（5分）【点评】本题主要考查平面图形中的线线关系，培养学生平面与空间的转化能力，熟练应用线面平行和线面垂直的判定定理20已知函数f（x）=经过点（0，3），且在该点处的切线与x轴平行（1）求a，b的值；（2）若x（t，t+2），其中t2，讨论函数y=f（x）的单调区间【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）由f（0）=3，可得b=3，求出导数，求得切线的斜率，可得a=3；（2）求出导数，对t讨论，当2t1时，当1t0时，当t0时，令导数大于0，得增区间；由导数小于0，可得减区间【解答】解：（1）经过点（0，3），b=3，由条件，a=3；（2）由（1），导函数，当2t1时，x（t，1），f（x）0，f（x）递减；x（1，0），f（x）0，f（x）递增；x（0，t+2），f（x）0，f（x）递减，当1t0时，x（t，0），f（x）0，f（x）递增；x（0，t+2），f（x）0，f（x）递减；当t0时，x（t，t+2），f（x）0，f（x）递减综上：当2t1时，f（x）递减区间为（t，1）和（0，t+2），递增区间为（1，0）；当1t0时，f（x）递减区间为（0，t+2），f（x）递增区间为（t，0）；当t0时，f（x）递减区间为（t，t+2）【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题21已知椭圆c： +=1（ab0）的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切（1）求椭圆c的标准方程；（2）设点p（4，0），a，b是椭圆c上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结pb交椭圆c于另一点e，证明：直线ae与x轴相交于定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆的离心率e，以及圆心（0，0）到直线xy+的距离求出a，b，即可求解椭圆的方程（2）设直线pb的方程为y=k（x4）联立，设点b（x1，y1），e（x2，y2），通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标【解答】解：（1）由题意知e=，=，即a2=（2分）又圆心（0，0）到直线xy+的距离为，b=a=2，故椭圆的方程为：（4分）（2）由题意知直线pb的斜率存在，设直线pb的方程为y=k（x4）联立，得（4k2+3）x232k2x+64k212=0（6分）设点b（x1，y1），e（x2，y2），则a（x1，y1），直线ae的方程为令y=0，得x=，（8分）再将y1=k（x14），y2=k（x24）代入整理得x=（10分）由得x1+x2=，x1x2=，代入整理得x=1，所以直线ae与x轴相交于定点（1，0）（12分）【点评】本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22已知abc中，ab=ac，d是abc外接圆劣弧上的点（不与点a，c重合），延长bd至e（1）求证：ad的延长线平分cde；（2）若bac=30，abc中bc边上的高为1+，求abc外接圆的面积【考点】与圆有关的比例线段【专题】选作题；推理和证明【分析】（1）要证明ad的延长线平分cde，即证明edf=cdf，转化为证明adb=cdf，再根据a，b，c，d四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到（2）求abc外接圆的面积只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接oc，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积【解答】（1）证明：如图，设f为ad延长线上一点，abcd四点共圆cdf=abc，又ab=ac，abc=acb，且adb=acb，adb=cdf对顶角edf=adb，故edf=cdf，即ad的延