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不自习引言：学好数学原则1. 学好数学八字诀：联想，类（对）比，转化，运用；化简，变形是数学的基本语言；寻求差异，统一形式是辨证的观点。2. 内容组织主要形式：问题情景学生活动意义建构数学理论数学运用回顾反思1) 问题情景包括实例，情景，问题，叙述等。意图是提出问题。2) 学生活动包括观察，操作，归纳，猜想，验证，推理，建立模型，提出方法等个体活动，也包括讨论，合作，交流，互动等小组活动。意图是体验数学。3) 意义建构包括经历过程，感受意义，形成表象，自我表征等。意图是感知数学。4) 数学理论包括概念定义，定理叙述，模型描述，算法程序等。意图是建立数学。5) 数学运用包括辨别，解释，解决简单问题，解决复杂问题等。意图运用数学。6) 回顾反思包括回顾，总结，联系，整合，拓广，创新，凝缩（由过程到对象）等。意图是理解数学。7) 数学中，最重要的莫过于概念和原理，熟读名篇一解析几析解析几何：利用曲线的方程，方程的曲线这两个重要概念，就可以借助坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程f（x，y）=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质，这种借助坐标系研究几何图形的方法叫坐标法，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科，因此可以说，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。古希腊的数学家通过对众多曲线的研究，开始对曲线的本质有了统一认识，他们把曲线看成是由符合一定条件的所有点组成，从而把曲线称之为轨迹我们知道，曲线可以看成是按照某种规律运动的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，设动点p的坐标是（x，y），点p在运动，它的坐标x和y也随之相应的变化，由于点p是按照某种规律在运动，因此x和y这两个变量相互依赖和制约，也就是说，它们之间应满足一定的关系，这种关系用代数方法表示出来，就可以得到一个含有x，y两个变量的方程F(x，y)=0，这样，就建立了曲线与方程之间的对应关系笛卡尔解析几何两个基本思想：（1）用有序数对表示点的坐标（2）把相互关联的两个未知数的代数方程，看成平面的一条曲线对于坐标，笛卡尔与前人不同，他不仅用坐标表示位置，而且通过点动成线的思想 把坐标具体应用到了建立曲线的方程上，对方程，笛卡尔不仅仅看成未知数与已知数之间的关系，而是更多的把它看成两个变量之间的关系式这样，他就建立了点与有序实数对之间以及曲线与方程之间的对应关系，从而把研究曲线的几何问题转化为研究方程的代数问题，通过对方程的讨论来研究曲线的几何性质这就是解析几何。1. 突出坐标法核心地位,明确基本步骤,将其概括为”三步曲” 第一步:建立适当的坐标系,用代数语言描述几何要素及其相互关系，即用坐标和方程表示问题中涉及的几何要素,将平面几何问题转化为代数问题. 第二步:通过代数运算和变换,解决代数问题. 第三步:分析代数结果的几何含义,并”翻译”成几何结论.其中画出图形，从平面图形的性质入手分析，寻求问题的代数解法为关键具体再细化：第一步：把题目中点，直线，曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化）第二步：把题目中的点与直线，曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代）第三步：图形构成特点的代数化（三化）第四步：按答案的要求解方程组（四解）操作细则略。补充拓展：（1） 过交点的曲线系方程：y）=0，f=0，则曲线y）+f=0）一定经过曲线y）=0和曲线的f=0交点。 （2）点差法：适用于弦中点问题。第18课时 直线和方程 第19课时 两直线位置关系知识结构：1.直线的方向：倾斜角；斜率k=；方向向量a=（1，k）（注图，给出推导过程）l 直线的方向用倾斜角，斜率表示，斜率是一个代数量，它与点的坐标联系，与直线的方程联系起来了l 斜率是倾斜角的正切函数，上的图像分两个区间来认识。如过定点的直线与某线段相交，问斜率的范围？注意旋转时，从角到斜率，结合图像2. 直线的方程（注意选择和局限性，局限性的理解只有k存在的直线才能用点斜式表示，也就是这个方程只能表示k存在的直线）l 曲线与方程的概念，直线方程意义l 局限性与选择，即根据问题选择适当的形式，用待定系数法求解l 一般形式l 截距与距离一个重要的问题：共点直线系（含一个参数的二元一次方程表示的是直线系）直线m：；若m和n交于点P（，请问方程有了这个知识，从这个观点出发，就可以解决：已知直线m：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0，求证：不论m取何实数，直线m恒过定点讲解：取一些值，从感性到理性，从中归纳出，含一个参数的方程，表示一系列直线；这些直线过一个定点3.位置 ；（注这是在两直线斜率都存在前提下）4. 交点方程组解由曲线方程定义可知，两条曲线交点的坐标应是两个曲线方程的公共实数解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几个实数解，曲线就有几个交点，方程组没有实数解，曲线就没有交点。也就是说曲线有交点的充要条件是它们的方程有实数解。可见，求曲线交点的问题，就是求它们的方程组的实数解的问题。点到直线的距离:d=；两平行直线的距离：d=（注转化为一般方程；x，y项系数相等）注：当问题含有字母系数时，绝对值的处理有三种办法，平方，画图转化为线段长，利用线性规划。在一些特殊问题中，还要注意平面几何知识的运用。试题链接：过点p（3，0）的作一直线，使它夹在两直线a：2x-y-2=0与b：x+y+3=0之间的线段AB被点p平分，求此直线的方程l 方法一：设成点斜式，运算量太大l 方法二：能不能求出A点的坐标呐?B点的坐标怎么办呐？第20课时 圆的方程 l 把标准方程展开来，整理，得到圆的一般方程。须明确：圆的方程是二元二次方程；但一个二元二次方程并非表示圆l 方程的思想：几个未知数，几个方程，基本量与相关量 第21课时 直线与圆，圆与圆的位置关系1. 过一点求圆的切线方程，注意点的位置；如果只求出一条，还有一条应结合图形找出来，这也体现了点斜式方程局限性。2.画出图形，分析图形的性质，形成代数的解法3.利用几个量的内在联系，转化一下，弧圆心角弦弦心距4.圆的方程含三个待定系数，因此必须具备三个独立的条件，有时设一个就可以了5.圆的问题充分利用平面几何中圆的知识来简化问题问题的求解综合复习备课：知识脉络：直线与圆方程，圆锥曲线：定义1.2，方程，几何性质核心问题：画个图（以便于检查），怎么算（形成定式），平面几何简化解析几何是用代数知识解决几何问题，仔细观察图形，分析几何条件，从中得出固有的几何关系。如果行不通，再用代数方法：方程，坐标化，函数二常用逻辑用语1.1.1四种命题1. 四种命题中有两对互为逆否的命题，它们同真同假；在判断四种命题真假时，只需判断两个，或者在判断原命题真假不易时，改判其逆否命题。2. 命题结构是由条件和结论组成，常改写为“若p则q”形式。3. “若p则q”真假判断：当p成立时，由p经过推理能否推出q，若能推出，就为真；否则为假；命题为假时，只要举一个例子加以否定即可，不必证明。4.试题解疑：判断若m0，则方程有实根的逆否命题（注意和方程+xm=0有实根，求m的取值范围问题分开）。链接：逻辑基本规律有四条：同一律，矛盾律，排中律，充足理由律（在论证的过程中，一个判断被确定为真，总是有充足理由的。否则就会犯“虚假理由”和“推不出”的逻辑错误）学情分析：判断命题真假。1.1.2充分条件和必要条件 背景分析：数学是逻辑性很强的学科，数学离不开各种等价转化与非等价转化，这些都以充分或必要条件及有关概念为基础。因此，掌握充分条件，必要条件，充要条件的本质含义，并灵活运用它们进行推理判断是至关重要的。充分条件与必要条件是对命题进行研究的重要途径，因而这部分知识是以往每年高考的必考内容，试题的取材可涉及中学数学内容的各个单元，着重考查逻辑推理能力。知识结构：1. 充分条件、必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系2. 在判断条件 和结论 之间的因果关系中应该：首先分清条件是什么，结论是什么；然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；最后再指出条件是结论的什么条件3. 过程详解 ：（a）定义讲解:怎样判断一个命题的真假呢？就要分析条件和结论的关系，举例说明，归纳：从条件和结论的关系来说（因果关系），如，就称p是q的充分条件（有之必然，即充分条件有了便一定成立，有了条件p就一定有结论q）；如qp，就称p是q的必要条件（有之不必必然，无之必必然，即必要条件有了不一定成立，但没有肯定不成立。如,常用语：不见得）另：p推不出q，q是p的什么条件。（b）命题的判断和充要条件的关系（从命题的角度理解）：若p则q为真，则有pq。例如：非p是非q的必要不充分条件，问p是q的什么条件？（c) 从集合的角度理解：当p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，若,则p是q的充分不必要条件，举例画图说明。（d）格式：注意等价转化思想的应用（变换形式）；注重推理（充足理由律）4 判断充分条件和必要条件的方法：定义法，传递法，集合法，等价命题法试题链接：例1，已知0），若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。（集合法，等价命题转化法p是q的充分不必要条件）学情分析（上课基础）A. 推理缺少理由：为什么推的出，为什么推不出，理由是什么？合理应用所学知识B. 少过程，缺格式，简单的一个结论C. 充要条件的找法D. 可能成立，可能不成立的命题，也就是不一定成立，在数学上叫不成立，这是矛盾律的要求。1.2 简单的逻辑联结词教学组织：1. 明确“或”，“且”，“非”含义，同集合中并集，交集，补集对比，意义一致。或指“不一定同时”，即“可同时也可不同时”；且指“同时满足”；非即否定，若命题p对应集合A,则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集C。三种复合命题与集合的交并补三种运算是相互呼应的，判断命题的真假可以借助集合的关系加以理解，其中“或”是具有“选择性”的逻辑连接词，“且”是具有“兼有性”的逻辑连接词，“非”是具有否定性的逻辑连接词。2. 命题的构成3. 判断命题真假及步骤（结构，分别判断，真值表），命题真假表（来源“或”，“且”，“非”的意义）4. “非”是否定，通常写一个命题的否定，往往要对正面叙述的词语进行否定；注意把命题的否定和否命题区分开；试题链接：例1，命题p：y=定义域为R，q：y=（2a）在R是减函数，如果p或q为真，p且q为假，求a的取值范围（先求p和q的范围，p假即非p，对应p的补集）1.3.1 量词知识结构：1. 全称量词：像“所有”，“任意”，“每一个”等表示的对象为全体的量词。含有全称量词的命题称全称命题，一般形式：。2. 存在量词：像“有一个”，“有些”，“存在一个”等表示部分的量词。含有存在量词的命题称存在命题，一般形式：。其中，M是给定的集合，p（x）是一个关于x的命题。教学组织：1 通过具体实例，抓住特点去分析，抓住意义去理解。对象即命题的主语，量词即限定主语的范围。 2. 注意根据命题的叙述对象的特征，发现隐含的量词。对某一类对象的特征描述，其中就含有全称量词；对某一个对象的特征描述，其中就含有存在量词。3. 判断全称，存在命题的真假方法，注意什么时候该举例，什么时候该证明。1.3.1 含有一个量词的命题的否定 1. 例（1）所有的人都喝水；否定：并非所有的人都喝水，即有的人不喝水。例（2）存在有理数x，使；否定：并非存在有理数x，使，即对所有有理数x，。由此得出全称命题，存在命题的否定规律，把之形式化。 试题答疑： 例1 有的三角形中，有一个内角是直角。否定：任意一个三角形中，没有一个内角是直角。 例2. 不存在实数x，从正面理解：对任意实数，都有因此否定：存在实数x，。 学法指导： 1. 学习逻辑的意义：常用逻辑用语是组建数学的基本元素构件，在学习数学时，合理使用逻辑用语，能使数学问题的描述简明，又能深刻揭示知识的本质。通过本章的学习，要体会逻辑用语在表述和论证中的作用；逐步形成自觉利用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进行分析和推理的意识；能对一些逻辑推理中的错误进行纠正，使对问题的表述更准确，贴切。释疑：1. 三导数部分：2.1 导数的概念1.在理解函数的导数时，将x改写成x，用定义求导，求导时把x暂时看成不变的。2导数的几何意义：1.2导数的运算1. 三个内容：基本函数的导数；函数的求导法则；简单复合函数的导数。2. 在求y=（3x1）的导数时，把3x1看成一个整体，利用y=x的导数公式来求，有道理又不妥。因为3x1毕竟不是x，从而引出复合函数的求导。1.3导数在研究函数中的应用1.3.1 单调性 教学过程： 1从形入手，数形结合，认识函数的单调性，问：与导数有什么关系？给出结论：如果在某区间上f（x）0，那么f（x）为该区间上的增函数；如果在某区间上f（x）0，那么f（x）为该区间上的减函数。以此为依据，利用导数就可以确定函数的单调区间。 2.如果函数在某个区间上是单调递增，导数一定大于零吗？不一定。 结合y=进行思考：如果f（x）在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f0吗？由此y=在R上是单调递增函数，求a的取值范围。则需 3. 注意求出函数的单调区间后，不要把几个增区间用并集符号连接，这是整体和部分的关系，可用单调性的定义辨析。 4. 注意首先确定函数的定义域。1.3.2 极值点（单调区间的分界点） 教学组织： 1. 从形入手，数形结合，认识函数的极值点和极值，问：与导数有什么关系？数上有两个特征：一左右两侧的导数异号，二此点处的导数为零。疑问：联系思考：当f”(x)=0时，能否肯定函数f（x）在x取得极值？即导数为零的点不一定是极值点。另外，导数不存在的点也可能是极值点，y=。 2. 能把函数和导数图像纵向对比，体会在相应的区间上，导数的正负与函数的增减的关系。 3. x的左侧，右侧分别是哪一个区间，请明确。 4. 极小值一定比极大值小吗？1.3.3最大值和最小值 1. 极值是函数的一个局部性质，而最值是相对函数定义域整体而言，是函数的一个整体的性质。 2. 求最值的步骤和格式规范。 3. 导数综合应用问题：将导数内容与不等式，函数单调性等有机结合，强调应用导数知识研究函数性质，解决实际问题。13.4 导数在实际生活中的应用 1.解题格式：写出定义域，写出最值的判断理由在；作答。 2函数建立关键在于关键量的分析上。1.3.5 导数的综合应用 1.单调性极值最值，这以导数为基础。单调性应用：比较大小，解证不等式，求最值和极值。关键以导数为工具，把函数的单调性判断清楚。 2. 三次多项式函数：三次函数的导数是二次函数，求单调区间就是解不等式，求极值就是解一元二次方程，于是三个二紧密联系起来。注意此时灵活运用数形结合，函数，方程的思想转化问题，解决问题。在求极值时，需要解一元二次方程，可能有三种情况，相应的函数的单调性有怎样。例若恰有三个单调区间，则a的取值范围是？ 结论：函数有三个单调区间，即有两个极值点，0；函数是单调的， 3. 解题中，注意复习基本函数的性质，以图带性，注意明确条件，明确结论，善于辨明问题，善于转化问题，善于数形结合，理清这个量与那个量有关。 学情分析： 1. 求极值最值主要是一个判断过程，判断手法不熟练，不能以图代表，不能简化。 2. 基本函数性质不熟练。 3导数计算不准确，看清函数的结构。 4. 题意不明，不知干什么。 5. 不能以计算的结果为依据，进行判断，推理，分析，推动解题进一步发展。 6. 导数难点：定义域，求极值解方程，参数的考虑，区间上导数正负的判定，重新洗牌。如讨论方程的解时，一变二，二变一等等变形和转化。试题链接： 例1，已知y=在区间上最大值是5，最小值是-11，求函数的解析式。分析：明确何时取最小值。例2. 例2.x=0（a0）有三个实根，求a的取值范围。分析：和函数单调性有关吗？仅有0，就足够了吗？14 导数在实际生活中的应用 1.函数建模关键在于相关量的分析上；在函数结构的认识上，分清常量和变量。注意体会问题的实际背景和真正的应用价值。2.解题格式：定义域没有；判断最大值，最小值的过程没有；1.5 定积分1.5.1 曲边梯形的面积教学组织 1.和导数的引入一样，先从定积分的几何意义出发，再以变速运动的路程，变力做的功为实际背景，从中抽象出本质特征。 2.能否求一个近似值，未知转化为已知，曲线变为直线，能再精确点吗？ 3.四步：分割，以直代曲，作和，逼近。1.5.2 定积分教学组织：1. 在讲定积分时，先把概念理解清楚。2. 定积分意“先分后积”，从有限到无限，从近似到精确。3. 几何意义：从三方面分析，曲线在x轴上方，下方，相交，并且结合定义分析。4. 用几何意义解题，有时有不可替代的作用。画出图形，数形结合，分析图形，就可以做出判断。15.3 微积分基本定理 1. 计算定积分的基本途径：定义，几何法，微积分基本定理。5. 在运用定理时，关键寻找原函数，方法有：适当恒等变形；以基本函数的导数公式为依据，以法则为基础推测，先大致形状，再细化。四算法初步对世界各式各样的观察方式中，最有趣的方式之一，是被设想为由模式组成的那种方式-维纳算法实际上是解决问题的方法，或者说就是解决问题的步骤，也就是说解决问题的程序；而流程图是把较为复杂的算法的程序（或步骤）用图形把它的运算（处理）程序表示出来；算法语句是实现人与计算机对话的基础，就是要把人们处理问题的方法和程序告诉电脑。因此，在学习算法初步时，一定要注意规范化，程序化。算法实际上是解决问题的操作程序，是一种让大家能够操作的方法，在现代主要是能够让计算机操作而能解决问题的方法或程序。1.1 算法的含义1引入：我们解决任何一件事情，都是在一定的条件下按某种顺序执行的一系列的操作（万物皆有法），解决数学问题也常常如此，将上述程序转换成计算机能识别的语言后，就能借助计算机极大的提高解决问题的速度。因此，探索解决问题的统一程序的思想是十分重要的。对一类问题的机械的，统一的求解程序就是算法。 面对一个需要解决的问题：（1） 如何设计解决问题的操作序列？（2） 怎样用数学语言描述这些操作序列？2. 定义：3. 算法的特点：有限性，确定性，有效性，有一个或多个输出，有零个或多个输入。4. 设计算法的方法：（1）找到解决问题的方法；（2）将解题方法设计为统一的，机械的程序。要求：（1）保证算法正确；（2）简单，步骤少；（3）可执行（人脑模拟电脑）。备注：算法重在过程，而非结果，并且明确告知每一步做什么。5.算法的比较：算法的优劣在于其操作难易程度，特别是能不能更有利于计算机的操作。疑难解答：1.一个重要问题：累积变量和计数变量，用这种方法具有普遍性，灵活性，其中引入了循环。引入循环的方法是引入了两个重要的变量，计数变量的取值从第二个加数开始，一直到最后的一个加数。累积变量的取值是第一个数，前两个数，前三个数的和，直到所有加数之和。. 2.在计算机中，每个变量都分配了一个储存单位，它们都有各自的门牌号码，所以交换一个单元存放中间量，比如s，这时就2就会把3覆盖了，或者，理解为先把3檫去，然后再写上2的水油A B12流程图1.2.1 顺序结构 1. 流程图：是由一些图框和一些带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序。 从该算法步骤中，可以看出，有些是按顺序执行，有些需要选择执行，而另外一些需要循环执行。 事实上，算法都可以由顺序结构，选择结构，循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套表达出来。流程图可以方便直观的表示这三种基本的算法结构。 2. 顺序结构：像这种依次进行多个处理的结构。如图，虚线框内是一个顺序结构，其中A和B两个框是依次执行的，顺序结构是一种最简单，最基本的的结构。 3. 选择结构：像这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称选择结构。如图，虚线框内是一个选择结构，它包含一个判断框，当条件成立时（或称为“真”）执行A,否则执行B. 4. 循环结构：在算法中，像这种在一定的条件下，需要重复执行同一操作的结构称循环结构。如图，虚线框内是一个循环结构，先执行命令A，在判断所给条件p的真假；若p为“假”，则执行A,如此反复，直到P为“真”，该循环过程结束。 教学组织：1. 复习三种基本结构，画出流程图。比较一下条件结构和循环结构。2. 分析循环结构是如何循环的，循环会一直进行吗？死循环是无意义的。从算法设计中体会递推思想方法。 学情分析：1. 写算法时不会分析问题，找不到解决问题的正确方法，基础知识缺乏。2. 看流程图分析不出三种基本结构。从而操作不明，不知解决什么问题。3. 循环结构的算法怎样编写？循环的要素是什么：a 输入时用循环输入；b 一个变量控制循环；c 另一个表示累积；d 循环了多少次？e 初值，终值，步长，循环的条件；f 循环是怎样执行的，数字改小一点；把握循环结构的三要素：循环的初始状态、循环体、循环的终止条件。4. 题意不明；找不到解决问题的数学方法；算法的设计思想不清；算法的顺序不对；某步是条件还是命令；写好算法的最好的办法：分析算法的执行，检查算法的正确（一步步在做什么，交代清楚，能不能顺利的链接起来，别卡壳）；把算法语言和数学语言混在一起，如S2：TT+1 (1T100)这样的语句无法执行；程序运行一定有结果输出，一定有结束；算法语句要规范，如G1，2，3等，又如输入1，2，3，4等；变量的初值没交代，又如Print Px+y，把赋值和输出混在一起；5. 在循环结构中，注意：l 先执行循环体，还是先判断l 循环的次数，在for语句中，循环的次数是从初值到终值；而在流程图中，要看先循环还是先判断。l 循环的终止点，要验证最后一点，注意操作的顺序，以及变量的关系l 理清有几个变量，其作用分别是什么，l 多执行，注意什么时候开始，什么时候终止。 6. ss+i，读作“s等于s+i”或“s加到i”1.3基本算法语句 伪代码：是介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号，是表达算法简单而实用的好方法。它是把计算机语言中具有的语句关键字用英文表示，其他的可用汉字表示。1.3.1 赋值语句：一个变量只有一个地址单元，第二次赋值会覆盖掉第一次的值。1.3.2 输入输出语句：简单的算法1.3.3 条件语句 1.当遇到三种情况时，需要作两次判断，第二次判断是在第一次的基础上，这时算法的描述可在条件语句中再嵌入一个条件语句。 2.条件语句也可以没有Else分支。1.3.4 循环语句 1 For语句 2.While语句算法设计思想：l 提出问题l 确定数学模型和计算方法l 具体实施：设计为统一的，机械的程序；注意保证算法正确，简单步骤少，计算机能执行l 检查有无错误l 修改l 结束 五统计2.1 抽样方法1. 抽样的公平性：保证每个人被抽到，每个人被抽到的机会（可能性）相等。2. 系统抽样：等距分段时，如N能被n整除，则间隔K=N/n，否则去掉一些个体。在系统抽样的第四步中，按照一定的规则抽取样本，这个规则不一定是等距。如在电影院在每排中抽取一人。从620人中抽取62人，应分成62组，每组10人。链接：两端都种 两端都不种 只种一端 棵数=段数1 棵数=段数1 棵数=段数段数=总距离棵距2.2 总体分布的估计22.1 频率分布表1. 全距不一定是最大值与最小值之差，可以适当增大全距，尽量使两端增加的量相同，以利于分组。组距=全距/组数。2. 频率分布表反映了数据的分布规律。2.2.2 频率分布直方图 1. 注意条形图，有频数条形图，频率条形图，小长方形的高（即纵坐标）分别是频数，和频率。而在频率分布直方图中小长方形的高是频率比组距，所以读图时看清横坐标，纵坐标。 2. 在频率分布表中，计算数据落在某个区间上的可能性的大小时，需要利用组中值计算，这在计算平均数时也用到。2.3 总体特征数的估计2.4 线性回归方程 选修部分（有些是文理共选）六推理和证明本章引言：推理和证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。证明通常包括逻辑证明和实验，实践证明，数学证明是逻辑证明，主要通过演绎推理来进行。本章教学建议：1) 推理和证明方法是基本的数学方法和思维方法，它们是从数学活动（思维）过程中抽象出来的，教学时不仅对这些方法做静态分析，还要做动态考察，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用。这样才能正确的理解和运用这些方法，从而整体上提高数学思维能力。2) 教学时注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础。3) 教学时要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯。4) 本章重点是对基本数学方法的理解和运用，从整体上认识本章所介绍的数学方法。如在2.1节中，应通过实例引导学生运用合情推理去探索，推测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的准确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过实例理解两种推理（作用，特点，关系），理解数学发现过程，而不必追求概念的抽象表述。 又如证明教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，淡化技巧。2.1合情推理和演绎推理数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，数学不是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，这才是完整的数学。2.1.1归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论。它是对部分对象的研究，归纳出共性特征，最后提出猜想的方法。在数学中应用很多，归纳推理是从部分到整体，特殊到一般的推理。1) 归纳时注意由于不完全性，易导致错误结论。2) 思维过程：试验，观察概括，推广猜测一般性结论一般模式：具有p，具有p具有p（都是A类事物的对象）。所以，A类事物具有p。前面是归纳的基础。2.1.2类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方式。1) 类比时要有可比性。2) 思维过程：观察，比较联想，类推猜测新的结论一般模式：A类事物具有性质a，b，c B类事物具有性质a，b （a，b与a，b相似或相同） 所以，B类事物可能具有性质c3） 类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性，在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的相似性推出什么样的未知的相似性。4） 好多类比是系统间的类比，从现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理。数学（科学）发现活动绝大多数都是这类类比。5） 类比不仅是结论的类比，而且还可以是思维过程（方法）的类比。6） 在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（一致性），然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想。最后，检验这个猜想。在教学中，不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切的表述出来，只有这样，才能把类比和比喻区别开来。例：y= y=tan（x）结构：f（x+aa）= tan（x+）=周期： 4a 齿形草 锯功能相似：划破手 锯开木材所以它们形状相似 7） 应该让学生学会自觉，科学地把类比方法运用到发现活动中去。例 棱台体积公式的推导（1） 确定类比对象，把梯形和四棱台作比较。有可比性吗？列表如下： 梯形 四棱台上下底平行 上下底面平行 另外两边不平行 另外四个面不平行 两腰延长线交于一点 四个侧面伸展后交于一点 中位线平行与上下底 中截面平行与上下底面 据此，可以把梯形作为类比对象。（2） 对类比对象作进一步的分析 梯形是用平行三角形一边的截去一个小三角形后得到的，而棱台是用平行棱锥的平面截去一个小棱锥得到的。据此，应该有以下的一些对应关系。 直线平面；三角形棱锥；梯形棱台进而有梯形底边长棱台底面积；三角形面积棱锥体积；梯形面积棱台体积（3） 通过类比推理，建立猜想求棱台体积方法和求梯形面积方法类似的，棱台的体积公式和梯形面积公式是类似的（4） 验证猜想 学情分析：1） 把四棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰的认识到它们之间的相似性，才会有科学的类比推理，因此，确定类比对象和对类比对象的进一步分析，都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提。2） 验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程。要注意从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试，让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析。 这是很有价值的是对自己的思维活动进行分析，如分析你是怎样解决某个问题的。 总结1） 合情推理还有其他多种形式，如联想（由于某人或某事物而想起其他相关的人或事物；由于某概念而引起其他相关的概念。联系是彼此接上关系。），想象（心理学是指在知觉的基础上，经过新的配合而创造出新形象的心理过程），直觉（未经过充分逻辑推理的直观，直觉是以已经获得的知识和累积的经验为依据的），审美判断（从美感出发的判断）等，它是根据已有的事实，正确的结论，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。2） 数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断的提出猜想，验证猜想的过程。合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同的推动着发现活动的进程。合情推理是富有创造性的或然推理，为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想，发现结论，提供思路的作用。演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。3） 对两种推理的作用，波利亚精辟的论述，“数学的创造过程与其他的任何知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路，创造过程是一个艰苦曲折的过程，数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是提供合情推理，提供猜想而发现的。从中体验创造数学知识。七数系的扩充与复数的引入复数1） 复数知识的生长点是复数的形式，型如a+bi这样的数，为什么是这样的数呢？这当然要清楚数系扩充的原因，如解方程x+1=0，x+x+1=0，由此而知： 虚数实数 b 复数相等 c 复数的四则运算（除法是分母实数化 d几何（形式）意义：实质上是点或以原点为起点，Z为终点的向量，相等的向量表示同一个复数 x+yi，i，1表示的点？ 2）难点：几何意义的理解（以向量为线索） 复数的加法：两个向量的和 复数的减法：两个向量的差l 两个复数的差就是两个向量的差，由此可知，一个向量对应是复数，总是这个向量的终点对应的复数减去起点对应的复数所得的差。即=-=Z-Zl 复数的模其实就是对应的向量的模，即该点到原点的距离。l 两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。，即 例题链接：若，点Z 的集合是什么图形？（把转化为） 3）在复数范围内分解因式，解实系数的一元二次方程，注意和复系数的一元二次方程区别。八计数原理本章教学建议：1) 两个原理是处理计数问题的两种基本思想方法。教学中，应引导学生根据计数原理分析,处理问题，而不应该机械的套用公式。通过对实际问题的分析，确定该问题是需要分类，还是需要分步，再选用相应的公式。2) 在解决计数问题时，要让学生正确理解“完成一件事”的具体含义是什么，怎样才算“完成”，以及采用何种“方式”完成。3) 解决计数问题的关键是设计完成一件事的过程，教学中要引导学生合理设计完成这件事的过程。4) 在教学中，可通过试验，画图等方法帮助学生将问题直观化，进而寻求解题途径。在计数问题中，由于结果的准确性往往难以直接验证，因而可以用不同的方法求解来加以验证。5) 注意对典型题型的分析，如综合应用两个原理，简单的排列，简单的组合，排列组合综合题排列，组合应用题思路：1) 都是讨论完成一件事的方法数，故先明确做“什么事”，再分析“怎么做这件事”，易于突破。2) 分清是排列还是组合，还是混合问题，那常先选后排。3) 一件复杂的事情，需要分解，分成若干类，或若干步。4) 才入手时，可采取举例子等手段，这样由少到多，由简单到复杂。具体策略：1) 相邻和相间（捆绑，插空）2) 在与不在（直接法：从特殊元素，位置入手；间接法）3) 分组与分配（前组合后排列）4) 正难则反11两个基本计数原理1) 区别清楚两个原理的条件和结论：如果完成一件事有n类方式，这n类方式彼此之间是相互独立的，不论哪一类方式中的哪一种方法都可以完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类计数原理；如果完成一件事需分成n个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成这件事的方法数就用分步计数原理。2) 另注意两点：a “完成一件事，有n类方式”是对完成这件事的所有方法的一个分类，为此，先要根据问题的特点确定分类的标准，然后在这个标准下进行分类，使得为此这件事的任何一种方法必属于其中某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，即“不重不漏”，这样才可以用分类计数原理。b “完成一件事，需要分成n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法，都需要分成n个步骤，为此，先要根据问题的特点确定分步的标准，并注意完成一件事必须并且只需连续完成这n个步骤才算完成，这样才可用分步计数原理。3) 从思想方法的角度看，分类是将一个问题分成若干“类”进行研究，分步是将问题进行分“步”思考，两者均能达到分解问题，简化问题的目的。是一种“化繁为简”的转化思想，学习方法都是从特殊到一般的合情推理。4) 分类计数原理具体理解，所谓“分类”，就是把完成某件事的方案分成若干类，每一类方案中又有一些具体的方法，所谓“加法”就是每一类方案中的每一种方法都能独立的完成这件事，把各类方案中的方法种数加起来就是完成这件事的方法总数。5) 分步计数原理这一名称，所谓“分步”，就是完成某件事分若干个步骤，每一个步骤又有一些具体的方法，所谓“乘法”，就是每一个步骤中的方法都不能独立完成这件事，必须每个步骤任取一种方法且连续做完这些步骤才能完成这件事，缺一不可，所以，把各步的方法种数乘起来才是完成这件事的方法总数。注1） 注意有的问题中有的元素可以重复使用，有的则不可以2） 利用两个原理的解题形式主要是直接应用和综合应用，综合应用时要注意整体先分类还是先分步，在每一类中是否需要分步，在每一步中是否需要再分类；注意完成任务是对象是什么（如经常会碰到是3还是4？），重复计算没有？（如从1，2，3，4，5中选两个数，共54=20种，就考虑了所取两个数的顺序）。重视列举法的价值以及灵活运用图表。学情分析：解题常见错误有不能准确理解题意；方法不正确；重复计算；添加条件；忽视条件；基本原理，基本概念还不清楚；解决问题的方法没有或不清晰，不能根据问题的特点，合理的分步或分类，总想一口吃个大胖子。试题链接之涂色问题：用4种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？分析：按1234的顺序，则完成这件事的方法总数是=48种。按1243的顺序，则填涂3时，方法不确定，需讨论1和4的颜色是否相同。方法种数是43（12+21）12排列本小节的内容处于承上启下的地位。它既是分步计数原理的应用，又是学习组合和组合数公式的基础。1)13组合试题链接：例 9名翻译人员中，5人懂英语，3人懂日语，1人既懂英语又懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法共多少种？分析：作法：两个圆重叠部分可以通过设置透明度来显现出来。 学情分析：1) 两个原理理解尚可，应用不行，主要不善于根据问题特点的特点分类或分步。如上例不能抓住f这个特殊元素进行分类。2) 排列组合在应用上的抽象性，能否划归到熟悉的模式。例一2个不同小球放入3个有编号的盒子中，有多少种放法？分步计数原理：32=6 1 2 3A排列：一种放法就对应于从3个不同元素中任取2个元素的一个排列。或者从3个盒子中任取2个，把两个小球按顺序排放。疑难辨析：例有4俩公共汽车，4个售票员，4个司机，每辆车要分配一名售票员和一名司机，共有多少种分配方法？错解：444=64，错在每一种方法是一辆汽车一个售票员一个司机，不是完成这件事的一种方法。正解：AA=57615二项式定理内容分析：二项式定理是初中多项式乘法的继续，定理的证明是计数原理的应用。教学过程：1) 归纳两个方面：项数（直接问），项的构成（三项按a的降幂排列，a的次数从2降到0次；三项按b的升幂排列，b的次数从0升到2次。其中m+k=2。类推（a+b）2) 追根溯源：（a+b）=a+2ab+b= a+ab+ba+b=（a+b）（a+b）问：2ab怎么来的？ab怎么来的？ba？（每一项如何产生的？）答：展开后共22=4项，每一项的系数都是1，合并后每一项的系数就是没合并前这个项的个数，即得到这个项的方法数。第一个括号的a乘以第二个括号的b，第一个括号的b乘以第二个的a概括一下：共两种情况，一个括号取a另一个取b。由此类推：a，3ab，（a+b）=通过具体的运算，让学生明确，（a+b）的展开式是从每个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和，其系数就是在n个括号中选r个取b的方法种数。3） 定理叙述：这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）的二项展开式；共n+1项；按a升幂排列（a在前），按b降幂排列；第r+1项（通项）T=Cab；其中C叫做二项式系数。九概率准备必修3l 古典概型：（1）所有的基本事件只有有限个（在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件）（2）每个基本事件的发生都是等可能的满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型，其概率公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是。如果每个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)=l 几何概型：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机的取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。用这样的方法处理随机试验，称为几何概型。它的基本特点是： 在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个 在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的其概率公式：一般地，在几何区域D内随机的取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)=，其中“测度”的意义依D确定l 互斥事件：在一次试验中，不能同时发生的两个事件称为互斥事件。其概率公式：如果事件A,B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A,B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)独立事件：两个互斥事件必有一个发生，则