高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的三角函数知识导航学案 北师大版必修4.doc

2 二倍角的三角函数知识梳理1.倍角公式（1）公式：sin2=2sincos；（s2）cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;（c2）tan2=.（t2）（2）公式的理解成立的条件：在公式s2、c2中，角可以为任意角，t2则只有当k+及 +（kz）时才成立.倍角公式不仅限于2是的二倍形式，其他如4是2的二倍、是的二倍、3是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.cos2的变形：cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，cos2=，sin2=；（这两个公式称为降幂公式）1+cos2=2cos2，1-cos2=2sin2.（这两个公式称为升幂公式）2.半角公式（1）公式：sin=；cos=；tan=.（2）公式的理解关于半角正切公式：tan=不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：tan=和tan=的使用范围不完全相同，后两个公式只要(2k+1)（kz），而第一个公式除(2k+1)（kz）之外，还必须有2k（kz）.当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.知识导学要学好本节，有必要复习两角和的正弦、余弦、正切公式；学好本节的小窍门：在公式的选择运用上，审题是关键，找准题目的突破口，选择适当的方法，定能事半功倍；选择二倍角余弦公式形式的策略：1加余弦想余弦；1减余弦想正弦；幂升一次角减半；幂降一次角翻番.解释如下：难疑突破1.求半角的正切值常用什么方法？剖析：难点是半角的正切值公式有三种形式，到底选择哪个来处理问题，突破的路径是靠平时经验的积累.根据经验有，处理半角的正切问题有三条途径：第一种方法是用tan=来处理；第二种方法是用tan=来处理；第三种方法是用tan=来处理.例如：已知cos=，为第四象限的角，求tan的值.解法一：（用tan=来处理）为第四象限的角，是第二或第四象限的角. tan0.tan=.解法二：（用tan=来处理）为第四象限的角，sin0.sin=.tan=.解法三：（用tan=）为第四象限的角，sin0.sin=.tan=.比较上述三种解法可知：在求半角的正切tan时，用tan=来处理，要由所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan=或tan=来处理，可以避免这些问题.尤其是tan=，分母是单项式，容易计算.因此常用tan=求半角的正切值.2.为什么说1+sin和1-sin是完全平方的形式？剖析：疑点是对此结论总是产生质疑.其突破的方法是学会推导.要明确这个问题，先从完全平方公式来分析.(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，由此看一个式子是完全平方的形式，必须有a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的形式特点.1sin要具备这种形式特点，需要进行恒等变形.观察到完全平方的式子中有a2和b2，联想1sin中的1能变形为平方和的形式，即变形的方向是1=a2b2，sin=2a