《异面直线所成的角》进阶练习（二）.doc

异面直线所成的角进阶练习一、选择题1.如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A.30B.45C.60D.902. 如图，在四面体S-ABC中，AB，BC，BS两两垂直，且AB=BC=2，BS=4，点D为AC的中点若异面直线AS与BD所成角为，则cos的值为（）A.B.C.D.-3. 如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A.异面直线AE与BD不可能垂直B.恒有平面AGF平面BCDEC.三棱锥A-EFD的体积有最大值D.动点A在平面ABC上的射影在线段AF上4. 二、填空题5. 如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 _ 6.三、解答题5. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PABD，BAD=60，AB=2 （1）证明：PD=PB； （2）当PDPB，二面角A-PB-C的余弦值为时，求此锥体的高？ （3）在条件（2）下，研究在线段PB上是否存在点M，使得异面直线PA与DM成角的余弦值等于，并说明理由参考答案1.C2.C3.A4.5.（1）证明：如图所示，连接AC，与BD相交于点O，连接OP 底面ABCD为菱形，ACBD， 又ACPA=A，PABD， BD平面PAC BDOP 又OD=OB， PB=PD （2）解：当PDPB，由（1）可知：PD=PB， OP=OD=OB 过点P作PO1AC，垂足为O1，分别以O1A，O1E，O1P为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz ABD中，BAD=60，AB=2=AD， OA=，OB=1=OD=OP 设O1A=a（不妨假设），则A（a，0，0），C，O1P=P =，=，= 设平面ABP的法向量为=（x，y，z），取= 同理可得：平面CBP的法向量为=， 二面角A-PB-C的余弦值为，=，解得a= 因此可得：点O1与O重合，因此此锥体的高为OP=1 （3）假设在条件（2）下，在线段PB上存在点M，使得异面直线PA与DM成角的余弦值等于 A，P（0，0，1），B（0，1，0），D（0，-1，0） = 设，则=（0，1-，），（01），=（0，2-，） =， 解得= M 因此在条件（2）下，在线段PB上存在点M，使得异面直线PA与DM成角的余弦值等于1.解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系， 点P在正方形ABCD所在平面外，PD平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1 A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0） =（1，0，-1），=（-1，-1，0） cos= 故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60 故选C 本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可 本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度 2.解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BS为z轴， 建立空间直角坐标系， A（0，2，0），S（0，0，4）， B（0，0，0），C（2，0，0），D（1，1，0）， =（0，-2，4），=（1，1，0）， cos=|cos|= = = 故选：C 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cos 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用 3.解：如图所示， A建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B，A，A（x，0，z）=（-x，1，-z），=，由=0，解得x=，z=因此取A，可得AEAB，因此A不正确 BEDFG，EDGA，FGGA，ED平面AGF，恒有平面AGF平面BCDE C恒有平面ADE平面BCDE时，三棱锥A-EFD的体积有最大值，正确； D由A可知动点：A在平面ABC上的射影在线段AF上，正确 故选：A A建立空间直角坐标系，不妨设BC=4，则E（0，1，0），B，A，A（x，0，z）由=0，解得x，因此取A，可得AEAB，即可判断出正误； B由于EDFG，EDGA，可得ED平面AGF，即可判断出正误； C恒有平面ADE平面BCDE时，三棱锥A-EFD的体积有最大值，即可判断出正误； D由A可知动点：A在平面ABC上的射影在线段AF上，即可判断出正误 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4.解：如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，BOAC， 在RtACD中，= 作DEAC，垂足为E，DE= CO=，CE=， EO=CO-CE= 过点B作BFBO，作FEBO交BF于点F，则EFAC连接DFFBD为直线AC与BD所成的角 则四边形BOEF为矩形，BF=EO= EF=BO= 则FED为二面角D-CA-B的平面角，设为 则DF2=+-2cos=-5cos，cos=1时取等号 DB的最小值=2 直线AC与BD所成角的余弦的最大值= 故答案为： 如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BOAC，在RtACD中，AC=作DEAC，垂足为E，DE=CO=，CE=，EO=CO-CE=过点B作BFBO，作FEBO交BF于点F，则EFAC连接DFFBD为直线AC与BD所成的角则四边形BOEF为矩形，BF=EO=EF=BO=则FED为二面角D-CA-B的平面角，设为利用余弦定理求出DF2的最小值即可得出 本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题 5.（1）如图所示，连接AC，与BD相交于点O，连接OP利用菱形的性质可得：ACBD，又PABD，可得BD平面PAC再利用线段的垂直平分线的性质即可得出 （2）当PDPB，由（1）可知：PD=PB，OP=OD=OB过点P作PO1AC，垂足为O1，分别以O1A，O1E，O1P为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O1-xyz由ABD中，BAD=60，AB=2=AD，可得OA=，OB=1=OD=OP设O1A=a（不妨假设），设平面ABP的法向量为=（x，y，z），可得同理可得：平面CBP的法向量为，由于二面角A-PB-C的余弦值为，