【奥数教程】第三讲简单推理的方法

第三讲 简单推理的方法例1. 有一个正方形木块，它的六个面上分别写有A、B、C、D、E、F，照下页图示那样，分三次把它平放在桌面上。请问：木块上A、B、C三个字母分别相对着哪个字母？ （1） （2） （3）解：正方体每一个面有四个面相邻根据图（1）图（3）可知A与D、E、B、C相邻，则剩下的F面与其相对根据图（2）图（3）可知B有E、F、C、A与之对应，则剩下的D与其相对所以最后C与E相对答：木块上AF，BD，CE例2. 四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把教室玻璃打破了。王老师问：“是谁打破了玻璃？”甲说：“是乙打破的。”乙说：“是丁打破的。”丙说：“我没有打破教室玻璃。”丁说：“王老师，乙在说谎，不要相信他。”这四个孩子中，只有一个说了老实话请判断：说实话的是谁？究竟是谁打破了教室玻璃解：（1）假设甲打碎了，则甲和乙说谎，丙和丁说老实话，与只有一人说老实话矛盾 （2）假设乙打碎了，则甲、丙、丁都说了实话，矛盾 （3）假设丙打碎的，则甲，乙，丙说谎，丁说了老实话，符合题意 （4）假设丁打碎的，则乙，丙说了实话，矛盾综上所诉，打碎玻璃的是丙例3. 某次测验满分是100分，A、B、C、D、E五人参加了这次测验A说：“我考了94分”B说：“我在五人中得分最高”C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数”D说：“我的得分恰好是5人的平均分”E说：“我比C多得2分，并且五人中居第2”问：这五个人各得了多少分？解：根据题意，可知B得分最高，E其次。先分析A、C、D三人的得分高低（1）如果A和D相等，则C是它们的平均分，故C与A、D相等，则D不可能是五个人的平均分，所以此假设不成立（2）如果A比D得分多，因为C是他们的平均分，当然也比D得分多，这样D是得分最少的，因此不可能是五个人的平均分（3）D比A得分多，C是A、D的平均分，因此介于A、D之间。由此可得：得分高低依次为B、E、D、C、A因为A为94分，可以肯定其他人的得分在95-100分之间因为94是偶数，而A、D的平均分是C是整数，因此D的得分必是偶数，因此D的得分可能是96或98分（1）若D是98分，则B、E只能是99，100分，此时5个人的分数从高到低为100，99，98，96，94，平均分不是整数不合题意（2）若D是96分，则C是95分，E的得分是95 + 2 = 97分，如果B是98分的话，5个人的平均分恰好是D，96分答：A、B、C、D、E五人的得分是94、98、95、96、97例4. 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果甲胜丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了多少场？解：根据题意，甲、乙、丙、丁每两个人都要赛一场，一共要打（3+2+1）=6先分析甲、乙、丙三人各胜了多少场。因为总共才6场比赛，所以甲、乙、丙三人胜的场数都不会超过2场，这样就有如下三种情况（1）甲、乙、丙三人各胜0场。这种假设与已知条件“甲胜丁”矛盾，所以不成立。（2）甲、乙、丙三人各胜1场。这种假设说明甲乙丙三人共胜三场，那么丁就胜三场，和甲胜丁矛盾综上所述，甲、乙、丙各胜2场，共胜了6场，那么丁只能全败例5. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各3张，相同颜色的卡片分别写着同一个整数，不同颜色写着不同的整数。现将这12张卡片，分别发给6名同学，每人得到颜色不同的两张卡片，卡片上的数字和分别为88、121、129、143、154、187，其中有一个和数是错的，请判断四种颜色的卡片上各写着什么数？解：现将此问题建立数学模型 设有A、B、C、D四种颜色的卡片，每种颜色各3张，共12张。且ABCD则6个同学可能拿的得组合有6种 A+B A+C A+D B+C B+D C+D其中 + ； + ； + 的和相等，都是A+B+C+D根据已知条件中的6个数据 88 + 187 = 121 + 154 = 275而129 + 143 275说明错误答案是129或143如果129是错误的，那么正确的是275 - 143 = 132根据ABCD得：A+B = 88 A+C = 121 A+D = 132 B+C = 143 B+D = 154 C+D = 187解得A = 33 B = 55 C = 88 D = 99同样方法：若143是错误的，可知四种颜色的卡片上分别写着40，48，81，106练习1 一位法官审理一起盗窃案，四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁供词如下：甲：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”乙：“我没有作案，是丙偷的”丙：“甲和乙中间有一人是罪犯”丁：“乙说的是事实”经过调查，四人中有两人说了真话，另外两人说了假话。问：究竟谁是盗窃犯？练习2 有A、B、C、D、E五人，各说了一句话A: 我们中间每人都说谎B. 我们中间只有一人说谎C. 我们中间有两人说谎D. 我们中间有三人说谎E: 我们中间有四人说谎请问：A、B、C、D、E五人谁说谎，谁说