高等代数练习题.doc

高等代数练习题一、选择题 1、每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）A、一次因式的乘积 B、一次与二次因式的乘积 C、只能是二次因式的乘积 D、以上结论均不对2、多项式在有理数域上（ ） A、可约 B、不可约 C、不一定可约 D、不能确定3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）A、系数行列式不为0 B、系数行列式为0 C、系数矩阵可逆 D、系数矩阵不可逆4、若存在u（x），v（x）使u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，则（ ）A、f（x）g（x） B、g（x）f（x） C、f（x）g（x）=1 D、以上均错5、下列说法正确的是（ ）A、设A、B是两个n级矩阵，则秩（A+B）秩A+秩BB、设是两向量空间，则dim（）=dimV+dimVC、以上均对 D、以上均错6、模m的完全剩余系有（ ） A、唯一一个 B、无穷多个 C、有有限个 D、不一定有7、设p是素数，a是整数，且(p,a)=1，则（ ）A、 B、 C、 D、以上均错8、多项式f(x)除以x-a所得的余数为（ ）A、f(0) B、f(x-a) C、f(a) D、以上均错9、在xy平面上，顶点的坐标(x,y)满足，且x,y是整数的三角形个数有（ ）A、560 B、32 C、516 D、4410、零多项式的次数是（ ）A、0次 B、1次 C、2次 D、不定义次数二、填空题 1、方程的有理根为_。 2、排列657893的逆序数是_。 5 3 -1 2 0 1 7 2 5 2 3、行列式 0 -2 3 1 0 的值为_ 0 -4 -1 4 0 0 2 3 5 0 4、_时，方程组 有非零解 5、计算=_6、m是大于1的正整数，a、b，若mab，则称a、b关于模m_。7、模m的非负最小完全剩余系为_。8、2003被17除的余数为_。9、若f(x)=ax+ax+ax+ax 的根是x，x，则xxx=_。10、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x3x+6x3x+9x6在有理数域上不可约所找到的素数为_。三、计算及综合题1、设求f（x）除以g（x）所得的商式q（x）和余式r（x）。 2、设，。求（f（x），g （x），并求u（x），v（x）使（f（x），g（x）=u（x）f（x）+ v（x）g（x）3、求行列式 d=的值 4、解方程组 5、求矩阵的秩6、求不定方程25x+13y+7z=4的整数解7、求方程的实数解 n-3, 8、定义域为正整数的函数f(n)满足 f(f(n+7), ( 试求f(90)9、设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，并且 ，求F(x).10. 确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。如果是，说明相关运算所具有的性质(指交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律和特异元素(单位元，零元，逆元)（1）A=Z，xy=x+y-2xy，任意x，yA（2）. A=R，xy=|x-y|，任意x，yA（3）. A=P(a，b)，两个运算分别为集合的交和对称差（4）. A为n阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。11、用m种颜色涂色正六边形的顶点，如果允许这个六边形在空间任意运动，求不同的涂色方案数。（20分）12、设n为给定自然数，求平面上由直线x2yn与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上)的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。（20分）四、推导题已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。五、计算题线性谐振子在时处于状态线性谐振子在时处于状态 ，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值六、问答题，一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个?练习题答案一、选择题（3分5=15分）1、A2、B3、B4、C5、A 6、B 7、A 8、C 9、C 10、D二、填空题（3分5分=15分）1、1 2、5 3、-1080 4、 5、6、同余 7、0，1，2，m-1 8、14 9、 10、3三、计算1、解：-3x+1 3+4-5x+ 6 3x+13 3-9+3x 13- 8x+ 6 13-39x+13 31x- 7 （4分） 所以 q(x)=3x+13, （3分）r(x)=31x-7 （3分）2、解： g(x) f(x)x+9=(x) 3+10+ 2x-3 + 3 -4x-3 x-=(x) 3+15+18x +- x -5-16x-3 - - 3x - 3 -5-25x-30 -x+ (x)=9x+27 (x)=- -x- x-=(x) - -x -x- -x- （5分） 0即f(x)=（x-）g(x)+（- -x-） g(x)=（x+9）（- -x-）+（9x+27） - -x-=（x-）（9x+27） 故（f(x)，g(x)）=x+3 （1分）9x+27=g(x)-( x+9)( - -x-) =g(x)-( x+9)( f(x)-( x-)g(x) =(x-9) f(x)+(1-(x-9)( x-)g(x) =(x-9) f(x)+( - +x) g(x) （2分）于是 u（x）=，v（x）= （2分）3、解： = （3分） =（） （3分） =（） （2分） =（） （2分） 4、解：系数行列式=270 （2分） =81 （1分） =-108 （1分） =-27 （1分） =27 （1分） 所以方程组有唯一解为 =3， （1分）=-4， （1分）=-1， （1分）=1 （1分） 5、解： （2分） （2分） （2分） （2分） 故矩阵的秩为3 （2分）6、解：设，考虑方程组 25x+13y=u 的整数解， (2分) U+7z=4 把看作关于x,y的二元一次不定方程 得与的特解为 （1分） （1分） 则与通解为 x=-u+13 u=-3+7 Y=2u-25, （1分） z=1-,Z （1分） 将u=-3+7代入的通解,得原方程通解 x=3-7+13 Y=-6+14-25 , Z （4分） Z=1-7、解：由已知有 于是 (1分) 当1.5x2时，=1，原方程变为=-11（不合适） (1分) 当2x3时，=2，原方程变为=29,x=（合适） (1分)当3x4时，=3，原方程变为=69,x=（不合适） (1分)当4x5时，=4，原方程变为=109,x=（不合适） (1分)当5x6时，=5，原方程变为=149,x=（不合适） (1分)当6x7时，=6，原方程变为=189,x=（合适） (1分)当7x8时，=7，原方程变为=229, x= （合适） (1分)当8 x 8.5时，=8，原方程变为=269, x= （合适） (1分)故原方程有四个解=,=,=,= (1分)8、解：90+7130=1000于是f(90)=f(f(97)= (2分) 又f(1000)=997 f(997)=f(f(1004)=f(1001)=998 f(998)=f(f(1005)=f(1002)=999 f(999)=f(f(1006)=f(1003)=1000 （3分） 所以f(ff(n)是以4为周期的函数 （3分） 而131=432+3 所以f(90)=f(ff(1000)=f(f(f(1000)=999 (2分)9、解：在中，以代x，得 （3分） 在中，以代x，得 （3分） 用，消去，得 （4分）101.封闭。有交换、结合。消去律。单位元0，0的逆0，1的逆1。2.封闭。有交换律。3.两个运算都封闭。运算有交换律、结合律、幂等律。单位元a，b，零元。运算有交换律、结合律、消去律。单位元。运算对运算有分配律。对于运算，只有a，b有逆元，a，b的逆a，b。对于运算，任意xA，x的逆x。4.乘法封闭，加法不封闭。乘法有结合律、消去律。单位元为n阶单位矩阵。任意xA，x的逆元为逆矩阵x的逆。11、答：群G的结构为(。)(。)(。)(。)(。)(。) 1个(。) 2个逆时针旋转600，3000(。)(。) 2个逆时针旋转1200，2400(。)(。)(。) 1个逆时针旋转1800(。)(。)(。) 3个绕对边中点连线轴旋转1800(。)(。)(。)(。) 3个绕对脚线旋转1800M(1/12)m的6次2m2m的2次4m的3次3m的4次12、答：x2yr线上的顶点数为方程 x2yr；x，yN的解的个数，令为ar，ar的生成函数为A(z)1/(1-z)(1-z的2次)1/4 1/(1z)(-z/43/4)1/(1-z)的2次 1/4(-1)的r次z的r次-z/4(1r)z的r次3/4r=0 r=0 r=0(1r)z的r次Arr/23/41/4（-1)的r次所求点数n NAr(r/23/41/4(-1)的r次)1/4(n1)r=0 r=0(n3)1/8(1(-1)的n次)1/4(n2)的2次 n为偶数1/4(n1)(n3) n为奇数四、推导题1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是： 设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：2、在A表象中算符的本征方程为：即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即五、计算题解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为：