辽宁省沈阳铁路实验中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（理）试题.doc

沈阳铁路实验中学20142015学年度下学期期中试题高二数学(理)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共计60分)1.复数等于( )来A4i B.-4i C.4 D.-42.设，则 A. B.: C. D. 3.若(为虚数单位)，则的共轭复数为( )A. B. C. D.4.曲线f(x)=x32x+1在点(1， 0)处的切线方程为( )Ay=x+1 By=x1 Cy=2x2 Dy=2x+25.函数的图象如下图所示，则导函数的图象的大致形状是( )6.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形 1 3 6 10 15则第个三角形数为( )A. B C. D.7.如图所示，由函数 与函数 在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为( )A B C D8.已知复数(为虚数单位)为纯虚数数，则的为A B C D9.已知函数f(x)=在1，+上为减函数，则a的取值范围是( ):Zxxk.ComA B. C. D.10.己知函数是定义域为R的奇函数，且，的导函数的图象如图所示.若正数满足，则的取值范围是( )A B C D11.已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B. C(0，1) D(0，) 12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则 A BC D二、填空题(共4小题，每小题5分，共计20分)13.设是虚数单位，则等于 14.函数在上的单调递增区间为 15.设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R等于 16.已知函数，则的极大值为 .三、解答题(共6小题，共计60分)17.(10分) (1) 设0，求证：(2)已知中至少有一个小于2.18.(12分)函数的图像在点P(1，0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：对任意正实数x恒成立. 19.(12分)设函数. (1) 求曲线在处的切线方程；(2) 求的单调区间与极值. (3)若方程有实数解，求实数的范围.20.(12分)已知函数()若在区间上是增函数，求实数的取值范围；()若是的极值点，求在上的最大值和最小值.21.(12分)观察下列等式 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子照此规律下去()写出第个等式；()你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想 22.(12分)已知函数.(1)设函数，求函数的单调区间； (2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.2014-2015高二下学期期中考试答案23.D24.A25.A26.B27.D28.B29.D30.A31.D32.B33.B34.D8.【解析】试题分析：因，所以故，易知当时，当时，所以是其极大值点，故39.(10分) (1) 设0，求证：(2)已知中至少有一个小于2.【解析】试题分析：【1】先作差然后利用综合法的思想证明即可.因为0，所以0，0，从而0，即【2】证明：假设 都不小于2，则 因为，所以，即，这与已知相矛盾，故假设不成立.综上中至少有一个小于2.40.(12分)函数的图像在点P(1，0)处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：对任意正实数x恒成立. 【解析】试题解析：由题设，yf(x)在点P(1，0)处切线的斜率为2解之得 6分因此实数a，b的值分别为1和3(2)证明 (x0)设g(x)f(x)(2x2)2x3ln x，则g(x)12x当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0g(x)在 (0，1)上单调递增；在(1，)上单调递减g(x)在x1处有最大值g(1)0，f(x)-(2x-2)0，即f(x)2x-2，得证 12分考点：利用导数研究函数切线及最值41.(12分)设函数.(1) 求曲线在处的切线方程；(2) 求的单调区间与极值.(3)若方程有实数解，求实数的范围.【解析】(1)2ex-y-e=0(2).令，得； 列表如下 :Zxxk.Com-0+极小值的单调递减区间是，单调递增区间是 极小值= (3) 42.(12分)已知函数()若在区间上是增函数，求实数的取值范围；()若是的极值点，求在上的最大值和最小值.【答案】(1)函数求导得，在区间上是增函数，则在恒成立，即在恒成立，在为增函数，则，(2)，是的极值点，则，解得，变化如下表：+0-0+-2增函数:网减函数-18增函数-12所以，【解析】在区间上是增函数，转化为导函数大于等于0在恒成立解；(2)根据是的极值点，求出a的值，然后求在上的最大值和最小值.43.(12分)观察下列等式 第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子照此规律下去()写出第个等式；()你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想 【解析】()第个等式 ()猜测第个等式为 证明：(1)当时显然成立；(2)假设时也成立，即有 那么当时左边而右边这就是说时等式也成立 根据(1)(2)知，等式对任何都成立 44.已知函数.(1)设函数，求函数的单调区间；(2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.【解析】(1)，定义域为， 1分当，即时，令，令， 2分当，即时，恒成立， 3分综上：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递增