【教学设计】《2

2.2.2 双曲线的简单几何性质 教材分析从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点。为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程。 教学目标【知识与能力目标】 (1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质(2)理解渐近线的证明方法(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系【过程与方法目标】培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法【情感态度价值观目标】培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物 教学重难点【教学重点】由方程导出性质及其应用【教学难点】渐近线的理解 课前准备 多媒体课件 教学过程【知识一、双曲线的简单几何性质】【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率、渐近线标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)续表标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e且e1渐近线yxyx【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.【知识二、双曲线的相关概念】1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心2实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e.【课堂互动探究】类型一、由双曲线的方程研究几何性质例1求双曲线25y24x21000的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程【思路探究】【自主解答】双曲线的方程25y24x21000可化为1.实半轴长a5，虚半轴长b2，顶点坐标为(5,0)，(5,0)由c，焦点坐标为(，0)，(，0)离心率e，渐近线方程yx.【规律方法】1已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质2写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错。变式训练求双曲线16x29y2144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【解】把方程16x29y2144化为标准方程得1，由此可知，实轴长2a8，虚轴长2b6，c5.焦点坐标为(0，5)，(0,5)离心率e.顶点坐标为(0，4)，(0,4)渐近线方程为：yx.类型二、由双曲线的几何性质求双曲线的方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)【思路探究】(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x22y22有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22，双曲线标准方程为1.【规律方法】1利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a，b的值)由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用2若已知双曲线的渐近线方程为AxBy0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2B2y2(0)或(0)的形式，从而使运算更简捷3与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x2y0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程【解】法一双曲线的一条渐近线方程为x2y0，当x4时，y2yP3.双曲线的焦点在y轴上从而有，b2a.设双曲线方程为1，由于点P(4,3)在此双曲线上，1，解得a25.双曲线方程为1.法二双曲线的一条渐近线方程为x2y0，即y0，双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2(0)，双曲线过点P(4,3)，32，即5.所求双曲线方程为y25，即1.类型三、求双曲线的离心率例3、分别求适合下列条件的双曲线的离心率(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.【思路探究】(1)由渐近线方程能得到a、b、c的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？【自主解答】(1)若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3()21030.解得或3.又0ab，3.e2.【规律方法】求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值在本题的(2)中，要注意条件0ab对离心率的限制，以保证题目结果的准确性变式训练已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率【解】设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.|PF1|.由双曲线对称性，|PF2|QF2|且PF2Q90.知|F1F2|PQ|PF1|，2c，则b22ac.c22aca20，2210.即e22e10.e1或e1(舍去)所求双曲线的离心率为1.【课堂小结】1通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程。2双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应