231直线与双曲线.doc

渠县中学高二年级精品备课资源课题名称直线与双曲线的位置关系课时2节教学目标教学要求知识与技能运用用代数的方法来研究，直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线公共点个数问题.能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题.掌握相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，对称性问题，存在性问题,与向量综合等问题.过程与方法根据诱思探究学科教学论，改变“老师滔滔讲，学生默默听”的传统教学模式，变教师的“满堂教”为学生的“满堂学” .让“教堂”变为“学堂”。在本节课教学中充分安排回忆、尝试、讨论、发言、实物演示，让学生参与到数学知识的探索、发现过程中去，体验知识的形成过程.能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力教学重点解并掌握直线与双曲线的位置关系，并能类比直线与椭圆的位置关系进行求解教学难点让学生掌握利用代数方法研究解析几何的基本方法. 理解分类讨论、数形结合等数学思想.教学方法启发式教学，探究式教学过程备注合作交流一、 直线与双曲线的位置关系判断方法：由消去一个变量，得到另一个变量的一元二次方程，若方程为一元一次方程，则直线与双曲线有一个交点（直线与双曲线的渐近线平行）若方程为一元二次方程，当（1）（2）（3）二、弦长问题方法：由消去一个变量，得到另一个变量的一元二次方程，利用根与系数的关系求 ，再由弦长公式或注意：也可以用两点间的距离公式三、 中点弦问题口诀：直线曲线两交点，设而不解代入减； 因式分解平方差，斜率中点都出现 类比学习探究新知类型一：直线与双曲线的位置关系例1. 已知双曲线，直线试讨论的取值范围，使直线与双曲线有两个公共点；有且只有一个公共点；没有公共点.解析：把代入双曲线中得到关于的一元二次方程.当时，即，求得直线与双曲线有两个公共点.当或时，直线与双曲线只有一个公共点,解得.当时, 即时，直线与双曲线没有公共点.赞同归纳总结：让学生分组讨论，进行小结，比赛看哪个组总结的最好.学生有了亲身的体验，学生们非常积极，举手回答： 学生1：在联立方程组变为一元的方程后，要对二次项系数加以讨论. 学生2：对于有关直线方程的设的问题，注意对直线是否存在要讨论. 学生3：既要联立方程组，又要考虑直线设法及二次项系数是否为零. （设计意图：大家发言都很好，通过多媒体演示小结.）延伸拓广：思考：过平面内一定点作直线，使得其和双曲线有且只有一个公共点，这样的直线的条数问题. 深化问题如下：例2. 直线与双曲线的右支交于不同的两点，求斜率的取值范围.解析：把代入双曲线中得到关于的一元二次方程由解得提醒：本题还可拓展延伸：若相交于左支或是左右各一支，怎么求斜率的范围？变式：过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.类型二：弦长问题例3.过双曲线的右焦点,倾斜角为的直线交双曲线与两点，求弦的长.解析：联立方程：，消去得：，由弦长公式.点评：运用直线与圆锥曲线的弦长公式，并引导学生学会类比直线与椭圆的相交情况，通过分类讨论，引导学生形成结论：不管直线与双曲线交于同一支还是不同支，弦长公式仍然适用.类型三：中点弦问题（ 过中点的双曲线弦的直线方程）例4.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于两点，且点是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由例2、（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程.解：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，.（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，且，得或.方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）说明：（1）弦长公式；（2）有关中点弦问题的两种处理方法.例4.已知双曲线.过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程.是否存在直线，使得是被双曲线所截弦的中点？答案：不存在归纳：注意：点差法的检验方法：有意义的范围为中点满足或.“点差法”常见题型有：（1）求中点弦方程、（2）求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题.类型四：最值问题例5： 设，为双曲线=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得 取得最小值时，求P点的坐标. 易解：P点的坐标为例6.s.5.u.c.o.m已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|F1B|的最小值解：设A(x1,y1),B(x2,y2),A到双曲线的左准线x= = 的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=, |AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2, |F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|F1B|;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), |F1A|F1B|=由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|F1B|取最大值变式：、已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件.记动点的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.解：（）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：(1k2)x22kbxb220依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22综上可知的最小值为2类型五：直线与双曲线位置关系的综合问题（与向量的交汇）：例7 .直线与双曲线的右支交于不同的两点.求实数的取值范围；是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.解析：（1）直线与双曲线C的右支交于不同的两点,联立方程组：整理得： 由所以，的范围为： 假设存在这样的，则根据圆的性质， 与垂直. 先求的坐标.双曲线的，的坐标为(, 0) 设坐标分别为，则由与垂直，得：的斜率 * 的斜率因此： 由于，所以：而代入，得： ，解得），舍去正根.比较得到，这个落在范围内. 所以存在，且.例8：已知双曲线C:,点B,F分别是双曲线C的右顶点和右焦点,O为坐标原点.点A在轴正半轴上,且满足成等比数列,过点F作双曲线C在第一,第三象限的渐近线的垂线,垂足为P. (I)求证:; (II)设,直线与双曲线C的左,右两分支分别相交于点D,E,求的值.(I)证明:直线的方程为:由,得P,又成等差数列,得A(,0),有,于是,因此.(II)由,得,:由,消去,整理得 设D,E,由已知有,且,是方程的两个根.,解得或.又,得=,因此.例9(文)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21. (2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k21. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x 1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23， 由得k21，故k的取值范围为(1，)(，1)题型选讲（注重分析过程）课堂练习可以做练习册课堂小结培养学生分析、归纳、推理、类比等能力，使学生进一步掌握利用代数方法研究解析几何的基本方法，加深对解析几何本质的理解及其应用。课后作业自己处理备选例题