分析2015年高考新课标卷.docx

简析2015年全国高考数学新课标卷理科压轴21题 湖北省洪湖市教研室 廖前爱【原题】已知函数，（）当为何值时，轴为曲线的切线；（）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数一试题评价第一问试题的呈现方式，简洁、平和，用含参数的三次函数为背景，考查导数定义及导数的几何意义，属于常规题，基本方法。第二问用一种并不陌生的方式定义新函数，其实质是分段函数，来考查函数零点问题。对于函数零点问题的考查，平常复习备考都很重视，但作为压轴考查，还是有些意外。在求解过程中，过分强化了分类讨论、数形结合的思想，而淡化了严格的逻辑推理证明。二解题研究解：（）设曲线与轴相切于点，则，即解得，因此，当时，轴为曲线的切线（）解法一：当时，从而，故在无零点。当时，若则，故是的零点；若则，故不是的零点。当时，所以只需考虑在的零点个数。（i）若，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在没有零点。（ii）若，则在单调递减，在单调递增，故在中，当时，取得最小值，最小值为 若，即在无零点； 若，即在有一个零点； 若，即由于所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点。综上所述，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点；【评析】以上解法一是高考评卷中给出的参考答案，巧妙之处，牢牢抓住函数零点的概念，结合分段函数的取值特征，将自变量分拆成几段来分析。关键之处，；在上，结合取较小函数定义和零点问题，转化为只需考虑在的零点个数，下面只需对参数进一步进行分类讨论。思路是清晰的，但写出这种解法的考生微乎其微，即使写了，最后总结也是很混乱。考生们一般都选择了下面的解法解法二：，（1）当时，则在单调递增，且 函数只有这一个零点（2）当时，令，解得下面分类讨论：当，即时，则，此时，函数只有一个零点当，即时，函数只有一个零点当，即时，函数有两个零点当，即时，函数有三个零点当，即时，函数只有一个零点当，即时，函数有两个零点综上所述，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点；解法三：（1）当时，则在单调递增，且 （图1） 函数只有这一个零点（如图1）（2）当时，令，解得，则 ，即时，函数只有一个零点（如图2）当，即时，函数有两个零点（如图3） （图2） （图3）当，即时，（i）若，即时，函数有两个零点（图4）（ii）若，即时，函数有三个零点（图5）（iii）若，即时，只有一个零点。（图6）（图4 ） （图5） （图6）综上所述，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点；【评析】解法二、解法三都是充分利用了数形结合的思想，结合函数的单调情况进行分类讨论，解法二讨论的依据主要是通过极值点与1进行比较；解法三讨论的依据是主要是通过极值与零进行比较，其实质差不多。三错误分析求解第一问过程中，出现的错误有：1.概念不清 切线是轴，不理解切线是什么？建立不了导数值与直线斜率之间的关系；2. 计算不过硬，导数求错，建立方程组后，不能找到最基本的消元思想先求出切点横坐标；3.思维不规范，不能正确设切点，按照常规思路，建立等式关系；求解第二问过程中，出现的错误有：1.忽视了定义域，导致范围过大，讨论麻烦；2.没有抓住问题本质是讨论零点问题，而把讨论的重点放在比较与的大小上，使问题复杂化而求解不彻底；3.讨论混乱，重复讨论或不全，总结不出最后的结果；4.答题不规范，画图随意，不加任何说明，直接得结果。四复习建议在复习中，一定要稳扎稳打，抓“纲”抓“本”，对于常考问题，要常抓，抓落实，回到问题的根上，不要忽视对概念的理解，讲究一个“通”；在题的形式上，问题的设置上，多层次，多角度，全方位的考查，寻求一个“变”；解题过程中，遵循学生的思维习惯，自然方法，强调“规矩规范”。思考一题多解，多题归一！无论在组织教学，辅导教学，学生训练，针对性要强，选题要适当，紧紧围绕学生开展，不能脱离实际，大谈特谈难题，偏题，技巧题。我们一切从学生出发，调动学生的积极性，让学生行动起来，不断反思，总结，老师尽量少讲甚至不讲，学生要能讲出问题的道道来，那样的“落实”才是有效的。在复习过程中对于函数导数压轴题，将问题分解成若干个小的问题，各个击破，特