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简析2015年全国高考数学新课标卷理科压轴21题 湖北省洪湖市教研室 廖前爱【原题】已知函数,()当为何值时,轴为曲线的切线;()用表示中的最小值,设函数,讨论零点的个数一试题评价第一问试题的呈现方式,简洁、平和,用含参数的三次函数为背景,考查导数定义及导数的几何意义,属于常规题,基本方法。第二问用一种并不陌生的方式定义新函数,其实质是分段函数,来考查函数零点问题。对于函数零点问题的考查,平常复习备考都很重视,但作为压轴考查,还是有些意外。在求解过程中,过分强化了分类讨论、数形结合的思想,而淡化了严格的逻辑推理证明。二解题研究解:()设曲线与轴相切于点,则,即解得,因此,当时,轴为曲线的切线()解法一:当时,从而,故在无零点。当时,若则,故是的零点;若则,故不是的零点。当时,所以只需考虑在的零点个数。(i)若,则在无零点,故在单调,而,所以当时,在有一个零点;当时,在没有零点。(ii)若,则在单调递减,在单调递增,故在中,当时,取得最小值,最小值为 若,即在无零点; 若,即在有一个零点; 若,即由于所以当时,在有两个零点;当时,在有一个零点。综上所述,当或时,只有一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点;【评析】以上解法一是高考评卷中给出的参考答案,巧妙之处,牢牢抓住函数零点的概念,结合分段函数的取值特征,将自变量分拆成几段来分析。关键之处,;在上,结合取较小函数定义和零点问题,转化为只需考虑在的零点个数,下面只需对参数进一步进行分类讨论。思路是清晰的,但写出这种解法的考生微乎其微,即使写了,最后总结也是很混乱。考生们一般都选择了下面的解法解法二:,(1)当时,则在单调递增,且 函数只有这一个零点(2)当时,令,解得下面分类讨论:当,即时,则,此时,函数只有一个零点当,即时,函数只有一个零点当,即时,函数有两个零点当,即时,函数有三个零点当,即时,函数只有一个零点当,即时,函数有两个零点综上所述,当或时,只有一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点;解法三:(1)当时,则在单调递增,且 (图1) 函数只有这一个零点(如图1)(2)当时,令,解得,则 ,即时,函数只有一个零点(如图2)当,即时,函数有两个零点(如图3) (图2) (图3)当,即时,(i)若,即时,函数有两个零点(图4)(ii)若,即时,函数有三个零点(图5)(iii)若,即时,只有一个零点。(图6)(图4 ) (图5) (图6)综上所述,当或时,只有一个零点;当或时,有两个零点;当时,有三个零点;【评析】解法二、解法三都是充分利用了数形结合的思想,结合函数的单调情况进行分类讨论,解法二讨论的依据主要是通过极值点与1进行比较;解法三讨论的依据是主要是通过极值与零进行比较,其实质差不多。三错误分析求解第一问过程中,出现的错误有:1.概念不清 切线是轴,不理解切线是什么?建立不了导数值与直线斜率之间的关系;2. 计算不过硬,导数求错,建立方程组后,不能找到最基本的消元思想先求出切点横坐标;3.思维不规范,不能正确设切点,按照常规思路,建立等式关系;求解第二问过程中,出现的错误有:1.忽视了定义域,导致范围过大,讨论麻烦;2.没有抓住问题本质是讨论零点问题,而把讨论的重点放在比较与的大小上,使问题复杂化而求解不彻底;3.讨论混乱,重复讨论或不全,总结不出最后的结果;4.答题不规范,画图随意,不加任何说明,直接得结果。四复习建议在复习中,一定要稳扎稳打,抓“纲”抓“本”,对于常考问题,要常抓,抓落实,回到问题的根上,不要忽视对概念的理解,讲究一个“通”;在题的形式上,问题的设置上,多层次,多角度,全方位的考查,寻求一个“变”;解题过程中,遵循学生的思维习惯,自然方法,强调“规矩规范”。思考一题多解,多题归一!无论在组织教学,辅导教学,学生训练,针对性要强,选题要适当,紧紧围绕学生开展,不能脱离实际,大谈特谈难题,偏题,技巧题。我们一切从学生出发,调动学生的积极性,让学生行动起来,不断反思,总结,老师尽量少讲甚至不讲,学生要能讲出问题的道道来,那样的“落实”才是有效的。在复习过程中对于函数导数压轴题,将问题分解成若干个小的问题,各个击破,特
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