2002-2018考研数学一试题及答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)=.(2)已知函数由方程确定,则=.(3)微分方程满足初始条件的特解是.(4)已知实二次型经正交变换可化成标准型,则=.(5)设随机变量服从正态分布,且二次方程无实根的概率为,则.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数的下面4条性质:在点处连续;在点处的两个偏导数连续;在点处可微;在点处的两个偏导数存在若用“”表示可由性质推出性质,则有(A).(B).(C).(D).(2)设,且,则级数(A)发散.(B)绝对收敛.(C)条件收敛.(D)收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数在内有界且可导,则(A)当时,必有.(B)当存在时,必有.(C)当时,必有.(D)当存在时,必有.(4)设有三张不同平面的方程,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为,则这三张平面可能的位置关系为(5)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则(A)必为某一随机变量的概率密度.(B)必为某一随机变量的概率密度.(C)必为某一随机变量的分布函数.(D)必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在的某邻域内具有一阶连续导数,且,若在时是比高阶的无穷小,试确定的值.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同,写出此切线方程,并求极限.五、(本题满分7分)计算二重积分,其中.六、(本题满分8分)设函数在内具有一阶连续导数,是上半平面(0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(),终点为().记(1)证明曲线积分与路径无关;(2)当时,求的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数满足微分方程;(2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在的边界线上找出使(1)中达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵,均为维列向量,其中线性无关,如果,求线性方程组的通解.十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量的概率密度为对独立地重复观察次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体的概率分布为0123其中是未知参数,利用总体的如下样本值求的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对两次求导得以代入原方程得,以代入得,再以代入得(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),则代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).分离变量得积分得即(对应);由时得于是积分得.又由得所求特解为(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根”,则依题意,有而即二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,若可微则必连续,故选(A).(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.按定义考察部分和原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意发散发散.因此选(C).(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设,则由拉格朗日中值定理,(当时,因为);但这与矛盾(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和,且中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故,且中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因对于选项(B),若则对任何,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,若令,而则的分布函数恰是三、【解】用洛必达法则.由题设条件知由于,故必有又由洛必达法则及,则有.综上,得四、【解】由已知条件得故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示于是要用分块积分法,用将分成两块:(关于对称)(选择积分顺序)六、【分析与求解】(1)易知原函数,在上原函数,即.积分在与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得,所以.(2)与相应的齐次微分方程为,其特征方程为,特征根为.因此齐次微分方程的通解为.设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得,即有.于是,方程通解为.当时,有于是幂级数的和函数为八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数在点处沿该点的梯度方向方向导数取最大值即的模,(2)按题意,即求求在条件下的最大值点在条件下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数则有解此方程组:将式与式相加得或若,则由式得即若由或均得,代入式得即于是得可能的条件极值点现比较在这些点的函数值:因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的边界上的最大值,即可作为攀登的起点.九、【解】由线性无关及知,向量组的秩,即矩阵的秩为因此的基础解系中只包含一个向量.那么由知,的基础解系是再由知,是的一个特解.故的通解是其中为任意常数.十、【解】(1)若相似,那么存在可逆矩阵,使故(2)令那么但不相似.否则,存在可逆矩阵,使.从而,矛盾,亦可从而知与不相似.(3)由均为实对称矩阵知,均相似于对角阵,若的特征多项式相等,记特征多项式的根为则有相似于也相似于即存在可逆矩阵,使于是由为可逆矩阵知,与相似.十一、【解】由于依题意,服从二项分布,则有十二、【解】的矩估计量为根据给定的样本观察值计算因此的矩估计值对于给定的样本值似然函数为令,得方程,解得(不合题意).于是的最大似然估计值为2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） =_ .（2） 曲面与平面平行的切平面的方程是_.（3） 设，则= .（4）从的基到基的过渡矩阵为 _ .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 则 _ .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是_ .(注：标准正态分布函数值二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. y O x （2）设均为非负数列，且,则必有(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. （4）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关. (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是 (A) . (B) .(C) . (D) . （6）设随机变量，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四 、（本题满分12分）将函数展开成x的幂级数，并求级数的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域，L为D的正向边界. 试证：(1) ;(2) 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r0时，九 、（本题满分10分）设矩阵，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 ， ， .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、（本题满分8分）设总体X的概率密度为 其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本，记(1) 求总体X的分布函数F(x);(2) 求统计量的分布函数；(3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题答案一、1、2、3、 14、5、6、二、CDADBC三、【详解】 (1) 设切点的横坐标为，则曲线y=lnx在点处的切线方程是 由该切线过原点知 ，从而 所以该切线的方程为 平面图形D的面积 （2） 切线与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 ，因此所求旋转体的体积为 y 1 D O 1 e x四、【详解】 因为又f(0)=, 所以 =因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以 令，得 ,再由，得 五、【详解】 方法一：(1) 左边= =， 右边= =，所以 .(2) 由于，故由（1）得 方法二：（1） 根据格林公式，得，.因为D 具有轮换对称性，所以 =，故 . (2) 由(1)知 = = （利用轮换对称性） =六、【详解】 (1) 设第n次击打后，桩被打进地下，第n次击打时，汽锤所作的功为. 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为，所以 ， 由可得 即 由可得 ，从而 ，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下.（2） 由归纳法，设，则 =由于，故得 ,从而 于是 ，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下 m.七、【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有=.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为 设方程( * )的特解为 ，代入方程( * )，求得，故，从而的通解是 由，得. 故所求初值问题的解为 八、【详解】 (1) 因为 ， ，所以在上，故F(t) 在内单调增加.（2） 因 ，要证明t0时，只需证明t0时，即 令 ，则 ，故g(t)在内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t0时，有g(t)g(0).又g(0)=0, 故当t0时，g(t)0,因此，当t0时，九、【详解】 方法一：经计算可得 ， ， =.从而 ，故B+2E的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数.当时，解，得线性无关的特征向量为 ，所以属于特征值的所有特征向量为，其中为任意常数.方法二：设A的特征值为，对应特征向量为，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，为B+2E的特征值，对应的特征向量为由于 ，故A的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为， 当时，对应的一个特征向量为 由 ，得，.因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为 ，其中是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为 ，其中是不为零的任意常数.十、【详解】 方法一：必要性设三条直线交于一点，则线性方程组 (*)有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于 =,但根据题设 ，故 充分性：由，则从必要性的证明可知，故秩由于 =，故秩(A)=2. 于是， 秩(A)=秩=2. 因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点，则为Ax=0的非零解，其中 于是 . 而 =,但根据题设 ，故 充分性：考虑线性方程组 (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 (* *)因为 =-,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.十一、【详解】 (1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为 ， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3 P 因此 (2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 = =【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法： 设 则的概率分布为 0 1 P 因为，所以 十二、【详解】 (1) (2) = = = =(3) 概率密度为 因为 =，所以作为的估计量不具有无偏性.2004年数学一试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 _.（2）已知，且f(1)=0, 则f(x)= _ .（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 _ .（4）欧拉方程的通解为 _.（5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 _ . （6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则= _ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . （8）设函数f(x)连续，且则存在，使得 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.(C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . （9）设为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若=0，则级数收敛.（B） 若存在非零常数，使得，则级数发散.(C) 若级数收敛，则. (D) 若级数发散, 则存在非零常数，使得. （10）设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. （11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . （12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. （13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于(A) . (B) . (C) . (D) . （14）设随机变量独立同分布，且其方差为 令，则(A) Cov( (B) . (C) . (D) . 三解答题（15）（本题满分12分）设, 证明.（16）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.（17）（本题满分12分）计算曲面积分 其中是曲面的上侧.（18）（本题满分11分）设有方程，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根，并证明当时，级数收敛.（19）（本题满分12分）设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.（20）（本题满分9分）设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.（21）（本题满分9分） 设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.(22)（本题满分9分）设A,B为随机事件，且，令 求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数（23）（本题满分9分）设总体X的分布函数为 其中未知参数为来自总体X的简单随机样本，求：（I） 的矩估计量；（II） 的最大似然估计量.2004年数学一试题答案一、1. y=x-12.3.4.5.6.二、7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.A 13.C 14.A 三、15.【证法1】 对函数在a,b上应用拉格朗日中值定理，得 设，则， 当te时， 所以单调减少，从而，即 ，故 .【证法2】 设，则 ， ,所以当xe时， 故单调减少，从而当时， ，即当时，单调增加.因此当时，即 ，故 .16.【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得 .又 ，由以上两式得 ，积分得 由于，故得，从而 当时， 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【详解2】 根据牛顿第二定律，得 ,所以 两端积分得通解，代入初始条件解得，故 飞机滑行的最长距离为 或由，知，故最长距离为当时，【详解3】 根据牛顿第二定律，得 , ，其特征方程为 ，解之得，故 由 ，得 于是 当时，所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.17.【详解】 取为xoy平面上被圆所围部分的下侧，记为由与围成的空间闭区域，则 由高斯公式知 = =而 ，故 18.【证】 记 由，及连续函数的介值定理知，方程存在正实数根当x0时，可见在上单调增加, 故方程存在惟一正实数根由与知 ，故当时，.而正项级数收敛，所以当时，级数收敛.19.【详解】 因为 ，所以 ， .令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由 ，可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.20.【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 当a=0时， r(A)=10内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式. （20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（I） 求a的值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0的解.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度； （II）的概率密度（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I） 的方差； （II）与的协方差2005年硕士研究生入学考试（数学一）答案一、1、2、3、4、5、 26、二、714C ABDBCBD三、15、【详解】 令 ， .则 = 16、【详解】 因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（1,1）记则由于所以又从而17、【详解】 由题设图形知，f(0)=0, ; f(3)=2, 由分部积分，知 = =18、【详解】 （I）令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是 19、Y【详解】 （I） l2 C o X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则 .（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有. 比较、两式的右端，得由得，将代入得所以，从而20、【详解】 （I） 二次型对应矩阵为 ，由二次型的秩为2，知 ，得a=0.（II） 这里， 可求出其特征值为.解 ，得特征向量为：，解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（III） 由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.21、【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为 为任意常数.22、【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度= =关于Y的边缘概率密度= = （II） 令，1） 当时，；2） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密度为：23、【详解】 由题设，知相互独立，且，（I） = =（II） = = = = =2006年硕士研究生入学考试数学一试题一、 填空题：16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（1） _. （2） 微分方程的通解是_（3）设是锥面的下侧，则_.（4）点到平面的距离_（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 _（6）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 _.二、选择题：714小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) . (B) .(C) . (D) . （8）设为连续函数，则等于（）. （B）.(C).(D) . （9）若级数收敛，则级数(A) 收敛 . （B）收敛.(C) 收敛. (D) 收敛. （10）设均为可微函数，且，已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则. (D) 若，则. （11）设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (B) 若线性