高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3_1导数的概念及运算课件理苏教版

3 1导数的概念及运算 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 导数与导函数的概念 1 设函数y f x 在区间 a b 上有定义 x0 a b 若 x无限趋近于0时 比值无限趋近于一个常数A 则称f x 在x x0处可导 并称该常数A为函数f x 在x x0处的导数 derivative 记作 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 知识梳理 f x0 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率k 即k 3 基本初等函数的导数公式 f x0 0 x 1 cosx sinx ex axlna 4 导数的运算法则若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x 3 g x 0 5 复合函数的导数若y f u u ax b 则y x y u u x 即y x y u a f x g x f x g x f x g x 1 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 周期函数的导数还是周期函数 3 af x bg x af x bg x 4 函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x 越大 曲线在这点处的切线越 陡 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 是函数y f x 在x x0附近的平均变化率 2 f x0 与 f x0 表示的意义相同 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数f x sin x 的导数是f x cosx 考点自测 1 教材改编 若f x x ex 则f 1 答案 解析 2e f x ex x ex f 1 2e 1 因为 cosx sinx 所以 错误 答案 解析 3 教材改编 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 答案 解析 5x y 2 0 因为y x 0 5e0 5 所以曲线在点 0 2 处的切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 4 教材改编 若过曲线y 上一点P的切线的斜率为 4 则点P的坐标为 答案 解析 5 教材改编 函数f x x3的斜率等于1的切线有条 答案 解析 2 y 3x2 设切点为 x0 y0 题型分类深度剖析 题型一导数的计算例1求下列函数的导数 1 y x2sinx 2 y lnx 解答 y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 解答 3 y 解答 4 y sin 2x 解答 5 y ln 2x 5 解答 令u 2x 5 则y lnu 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 2 复合函数求导时 先确定复合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元 思维升华 跟踪训练1 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 则x0 答案 解析 f x 2016 lnx x 2017 lnx 故由f x0 2017 得2017 lnx0 2017 则lnx0 0 解得x0 1 1 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 答案 解析 2 f x 4ax3 2bx f x 为奇函数且f 1 2 f 1 2 题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2 1 2016 南通一调 在平面直角坐标系xOy中 直线l与曲线y x2 x 0 和y x3 x 0 均相切 切点分别为A x1 y1 和B x2 y2 则的值为 答案 解析 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为 答案 解析 x y 1 0 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 解得x0 1 y0 0 切点为 1 0 f 1 1 ln1 1 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 命题点2求参数的值例3 1 2016 徐州模拟 函数y ex的切线方程为y mx 则m 答案 解析 e 设切点坐标为P x0 y0 由y ex 得 从而切线方程为 又切线过定点 0 0 从而 解得x0 1 则m e 几何画板展示 2 2016 苏州暑假测试 已知函数f x x 1 若直线l y kx 1与曲线y f x 相切 则实数k 答案 解析 则f x0 k 即1 k 且kx0 1 x0 1 1 e 几何画板展示 命题点3导数与函数图象的关系例4如图 点A 2 1 B 3 0 E x 0 x 0 过点E作OB的垂线l 记 AOB在直线l左侧部分的面积为S 则函数S f x 的图象为右图中的 答案 解析 函数的定义域为 0 当x 0 2 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于0且越来越大 即斜率f x 在 0 2 内大于0且越来越大 因此 函数S f x 的图象是上升的且图象是下凸的 当x 2 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于0且越来越小 即斜率f x 在 2 3 内大于0且越来越小 因此 函数S f x 的图象是上升的且图象是上凸的 当x 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S为0 即斜率f x 在 3 内为常数0 此时 函数图象为平行于x轴的射线 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点A x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点A x1 f x1 即解方程f x1 k 3 若求过点P x0 y0 的切线方程 可设切点为 x1 y1 由求解即可 4 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢 思维升华 答案 解析 3 设切点的横坐标为x0 解得x0 3或x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为3 答案 解析 1 典例若存在过点O 0 0 的直线l与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 求曲线过一点的切线方程 要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况 错解展示 求曲线的切线方程 现场纠错系列3 现场纠错 纠错心得 几何画板展示 返回 解易知点O 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当O 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得y x 0 2 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2016 天津 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 答案 解析 3 因为f x 2x 1 ex 所以f x 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex 所以f 0 3e0 3 14 15 16 2 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 答案 解析 因为切线过点 0 0 所以 lnx0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 若直线y x是曲线y x3 3x2 px的切线 则实数p的值为 答案 解析 y 3x2 6x p 设切点为P x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 若f x 2xf 1 x2 则f 0 答案 解析 4 f x 2f 1 2x 令x 1 则f 1 2f 1 2 得f 1 2 所以f 0 2f 1 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2016 江苏扬州中学期中 若x轴是曲线f x lnx kx 3的一条切线 则k 答案 解析 e2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点M x0 y0 是曲线f x 上的一点 则曲线f x lnx kx 3在点M处的切线方程为 x轴是曲线f x lnx kx 3的一条切线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 由题意可知f x g x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 答案 解析 1 f x 3ax2 1 f 1 1 3a f 1 a 2 所以函数在 1 f 1 处的切线方程为y a 2 1 3a x 1 将 2 7 代入切线方程 得7 a 2 1 3a 解得a 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2016 南京模拟 曲线y log2x在点 1 0 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 若函数f x x2 ax lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 答案 解析 2 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 已知曲线f x xn 1 n N 与直线x 1交于点P 设曲线y f x 在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值为 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x n 1 xn k f 1 n 1 点P 1 1 处的切线方程为y 1 n 1 x 1 x1 x2 x2015 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 lnx 则f 1 1 答案 解析 f 1 2f 1 1 则f 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 已知y f x 是可导函数 如图 直线y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由题图可知f 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 曲边梯形由曲线y x2 1 y 0 x 1 x 2所围成 过曲线y x2 1 x 1 2 上一点P作切线 使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形 则这一点的坐标为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 求曲线在点P 2 4 处的切线方程 解答 在点P 2 4 处的切线的斜率为y x 2 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求曲线过点P 2 4 的切线方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求的切线方程为x y 2 0或4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 证明