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文档简介

二 齐次方程 三 可化为齐次方程的方程 第三节齐次方程 华南理工大学数学科学学院杨立洪博士 1 特别 当k 0时 即有 2 因为 因为 例如 二 齐次方程 可以证明 一阶微分方程满足下列条件 解法 将其代入原式 得 即 这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程 然后 利用分离变量法求得 例题 代入原方程 得 分离变量 并两边积分 得 于是 所求的特解为 故 代入得 进行分离变量整理 并两边积分 故所求通解为 这是关于变量u与x的可分离变量方程 得 解 这是一个齐次方程 先将方程变形为 代入得 这是关于变量u与x的可分离变量方程 分离变量 并两边积分 得 故 所以 原方程通解为 三 可化为齐次方程的方程 微分方程 可通过适当的变换 平移变换 我们通过下面的一个实例来介绍这种方法 化为齐次方程 作变换 则 则 代入并整理和积分 得 于是 原方程变为 故 于是 所求通解为 五 小结 本节主要内容是 1 齐次方程 3 可化为齐次方程的方程 其解法要点 令 六 重点 七 难点 对某些一阶微分方程 寻找恰当的变量 代换 使其化为可分离变量方程去求解 八 主要题型 九 学习方法指导 变量代换比较灵活 需逐步积累经验 尤其注意一些常见的变量代换 通过求解齐次方程 提出了选择合适的 变量代换的问题 如 商代换 平移代换 十 课堂练习题 1 解方程 2 解方程 十一 课堂练习题解 1 解 原方程化为 故 代入得 分离变量 两边积分 故 从而 故所求通解为 即 2 解 先求解方程组 得 作变换 则原方程化为 这是一个齐次方程 令 则有 这是可分离变量方程 通过分离变量 故 于是 原方程通解为 两边积分 得 十二 自测题 一 求下列齐次方程的通解 1 2 二 求下列齐次方程的特解 1 2 并求通解 十三 自测题题解 代入并整理计算得 故所求通解为 或 2 解 原方程化为 代入并计算得 故 于是 所求通解为 二 1 解 原方程化为 代入并计算得 即 故 所以 于是所求特解为 2 解原方程化为 代入并整理 得 两边积分 得 于是 所求特解为 即
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